9、数值方法：从理论到实践

数值方法：从理论到实践

1. 数值解与解析解的近似关系

在数值计算中，解析解本身只是一种近似。摆动角度越小，近似误差也就越小。我们可以通过减小振幅来观察数值解与解析解的差异变化。计算表明，当振幅减小到原来的 1/10 时，经过六个周期后，最大差异会减小到原来的 1/1000；若振幅减小到原来的 1/100，最大差异则会减小到原来的 10⁻⁶。这说明数值解和解析解越来越接近，符合我们的预期。从正弦函数的级数展开也能进一步验证这一结果。

对于小角度位移，我们有理由相信程序的运行符合预期，并且在一定范围内，程序也能较好地处理较大角度的情况。

此外，在数值计算中，我们还需要进行分辨率测试。例如，在某些计算中，我们选择每个周期进行 1000 步计算。但对于跨越多个周期的计算，不能使用如此小的时间步长。通常，将每个周期的计算步数降至 100 时，结果仍可接受；但如果降至 10 步，结果很可能会明显依赖于步长的选择。因此，我们需要进行一系列计算，确保计算的“分辨率”合适且易于管理。

2. 可重复性要求

如今，程序修改变得十分容易，但这也带来了额外的挑战。在科学研究、项目作业等场景中，为了使计算结果具有完整价值，我们必须清楚所使用的具体程序和参数。这就如同在实验物理中，需要在实验日志中详细记录实验的所有细节，以确保结果可测试，实现可重复性和主体间性，这在科学和发展中至关重要。

在实验工作中，人们有时会在实验进行时不记录所有相关细节，想着之后再补全。但这种做法往往会在后期带来困扰，甚至可能需要重新进行实验并寻找之前实验的条件。

使用数值方法与实验室实验类似，我们测试不同参数对结果的影响，使用不同的数值方法就像使用不