4、解决 $R^n$ 中的插值问题

解决 $R^n$ 中的插值问题

在数学和计算机图形学领域，插值问题是一个重要的研究方向。本文将详细介绍如何解决 $R^n$ 中的插值问题，特别是通过构造 $C^2$ 贝塞尔样条来实现对给定一组点的插值，并最小化特定的成本函数。

问题描述

考虑在 $R^n$ 中的 $(N + 1)$ 个点 $p_0, \cdots, p_N$，以及一组时间瞬间 $t_0 < \cdots < t_n$。为了简化，我们假设时间瞬间为 $t_i = i$。我们的主要目标是找到一个 $C^2$ 贝塞尔样条 $\beta : [0, N] \to R^n$，它能够插值给定的点集 $p_i$，即 $\beta(t_i) = p_i$，其中 $i = 0, \cdots, N$，同时最小化以下成本函数：
$$
\min_{\beta \in C^2([0,N],R^n)} E(\beta) = \int_{0}^{N} || \ddot{\beta}(t) ||^2 dt
$$

贝塞尔样条的构造

在构造贝塞尔样条 $\beta$ 时，我们假设它由 $N$ 个贝塞尔曲线 $\beta^i_k$ 定义，其中 $k \in {2, 3}$ 且 $i = 0, \cdots, N - 1$。具体来说，连接 $p_0$ 和 $p_1$ 的线段，以及连接 $p_{N - 1}$ 和 $p_N$ 的线段是二阶贝塞尔曲线，其他所有线段都是三阶贝塞尔曲线。

二阶和三阶贝塞尔曲线的定义如下：
- $\beta_2(t; b_0, b_1, b_2) = (1 - t)^2 b_0 + 2(1 - t)t b_1 + t^2 b_2$