蓝桥杯历届试题格子刷油漆（动态规划）

最新推荐文章于 2021-06-21 10:29:58 发布

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#数据结构与算法

本文详细解析了一道经典算法题“历届试题格子刷油漆”，通过动态规划的方法，计算2*N矩阵格子的所有刷漆方案数，特别关注了边界条件和状态转移方程的设计。

历届试题格子刷油漆

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

问题描述

　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。

　　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入格式

　　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出格式

　　输出数据为一个正整数。

样例输入

样例输出

样例输入

样例输出

样例输入

样例输出

359635897

题解：

设a[x]为4个角中任意一个格子为起始点的总方案数，b[x]为4个角中任意一个格子为起始点，其上或者其下的格子为终点的方案数。

对于b[x]，后面的每一列都必须有1个格子过去1个格子回来才能回到终点，所以b[x]=2*b[x-1];

对于a[x],以左上角的格子为例，有三个方向可以走，分类如下：

起点在角上的总方案数 $\LARGE {\color{Red} ans1=4*a[n]=4*(2*a[x-1]+4*b[x-2]+4*a[x-2])=4*(2*a[x-1]+2*b[x-1]+4*a[x-2]){\color{Red} }}$

起点在中间的总方案数

$\large {\color{Red} ans2=\sum_{i=1}^{n-1}(b[n-i]*a[i-1]+b[i-1]*a[n-i])}$

#include<iostream>
#define ll long long
#define inf 1000000007
using namespace std;
ll a[1011],b[1011];
int main()
{
        int n;
        scanf("%d",&n);
        b[1]=1,a[1]=1;
        b[2]=2,a[2]=6;
        for(int i=3;i<=n;i++){
                b[i]=b[i-1]*2%inf;
                a[i]=(2*a[i-1]+4*a[i-2]+2*b[i-1])%inf;
        }
        ll ans1,ans2;
         if(n==1){
                printf("2\n");
        }else{
        ans1=4*a[n]%inf;
        ans2=0;
        for(int i=2;i<n;i++)
                ans2+=8*(b[i-1]*a[n-i]%inf+b[n-i]*a[i-1]%inf)%inf;
        printf("%lld\n",(ans1+ans2)%inf);
        }
        return 0;
}

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