hihocoder 1388 Periodic Signal （FFT）

原创于 2018-09-13 16:30:58 发布 · 431 阅读

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本文探讨使用快速傅立叶变换(FFT)算法解决两序列间差值平方和最小值问题，通过数学变形将问题转化为求sigma(a[i]*b[(i+k)%n])的最小值，介绍了FFT的应用和精度调整技巧。

题目：两个序列，求一个差值平方和最小 min{(a1-b1)²+...+(an-bn)²,(a1-b2)²+...+(an-b1)²，...，(a1-bn)²+...+(an-b1)²}

思路：原式变形后就是sigma(a[i]^2)+sigma(b[i]^2)-2*sigma(a[i]*b[(i+k)%n])的最大值，也就是sigma(a[i]*b[(i+k)%n])的最小值。

这个可以用FFT来求了，可以用题目给的第二组简单的样例模拟一下，需要将b数组反转，最后还要注意精度（找到k后重新按式子跑一遍）。直接硬套fft模板了。。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI=acos(-1.0);
struct Complex{
    double x,y;
    Complex(double _x=0.0,double _y=0.0){
        x=_x;
        y=_y;
    }
    Complex operator -(const Complex &b)const{
        return Complex(x-b.x,y-b.y);
    }
    Complex operator +(const Complex &b)const{
        return Complex(x+b.x,y+b.y);
    }
    Complex operator *(const Complex &b)const{
        return Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};
void change(Complex y[],int len)
{
    int i,j,k;
    for(i=1,j=len/2;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j) swap(y[i],y[j]);
        k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k/=2;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }
}
void fft(Complex y[],int len,int on)
{
    change(y,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)
    {
        Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j=0;j<len;j+=h)
        {
            Complex w(1,0);
            for(int k=j;k<j+h/2;k++)
            {
                Complex u=y[k];
                Complex t=w*y[k+h/2];
                y[k]=u+t;
                y[k+h/2]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if(on==-1)
        for(int i=0;i<len;i++)
        y[i].x/=len;
}
const int MAXN=400010;
Complex x1[MAXN],x2[MAXN];
ll str1[MAXN/2],str2[MAXN/2];
ll sum[MAXN];
int t;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int len1,len2;
        scanf("%d",&len1);
        len2=len1;
        ll ans=0;
        for(int i=0;i<len1;i++)
        {
            scanf("%lld",&str1[i]);
            ans=ans+str1[i]*str1[i];
        }
        for(int i=0;i<len2;i++)
        {
            scanf("%lld",&str2[i]);
            ans=ans+str2[i]*str2[i];
        }
        //for(int i=len2-1;i>=0;i--)
        //    cout<<str2[i]<<" ";
        //cout<<endl;
        int len=1;
        while(len<len1*2||len<len2*2) len<<=1;
        for(int i=0;i<len1;i++)
            x1[i]=Complex(str1[i],0);
        for(int i=len1;i<len;i++)
            x1[i]=Complex(0,0);
        for(int i=0;i<len2;i++)
            x2[i]=Complex(str2[len2-1-i],0);
        for(int i=len2;i<len;i++)
            x2[i]=Complex(0,0);
        fft(x1,len,1);
        fft(x2,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x1[i]=x1[i]*x2[i];
        fft(x1,len,-1);
        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i]=(ll)(x1[i].x+0.5);
        ll ma=0;
        int k=0;

        for(int i=0;i<len1;i++)
        if(sum[i]+sum[i+len1]>ma)
        {
            ma=sum[i]+sum[i+len1];
            k=len1-i-1;
        }
        //cout<<k<<endl;
        ma=0;
        for(int i=0;i<len1;i++)
            ma+=str1[i]*str2[(i+k)%len1];
        ans-=ma*2;
        printf("%lld\n",ans);
    }
	return 0;
}