POJ 1942--Paths on a Grid

最新推荐文章于 2016-07-04 17:36:00 发布

原创最新推荐文章于 2016-07-04 17:36:00 发布 · 483 阅读

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#poj #算法 #数学

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本文介绍了一种通过组合数学的方法解决路径匹配问题的算法。该算法利用排列组合原理，通过计算不同路径匹配方案的数量，有效地解决了给定网格中特定路径数量的问题。文中详细解释了如何根据网格的尺寸确定有效路径，并提供了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

从题目所举的例子可以看出当横向的五条边或者纵向的4条边确定在哪些位置后路径也就确定了，易知使用较少的边来确定。

我们从上往下用U{1，2，3，4}代表这4条纵向边，0代表没有纵向边。从左往右用V{1，2，3，4，5，6}代表纵向边可能的位置，题目即要求我们对U,V进行一种匹配，使得U中除0外较小的边映射到V中较大的位置。例如题目给出的第一种匹配（U，V）={1，6），（2,6），（3，5），（0,4），（0,3），（4,,2），（0，1）}，可知这些种映射和路径是一一对应的。

根据要求，我们可以进行排列组合，有多少种V种元素的选择对应U中大于0的边，易知有C（6,1）+C(6，2)+C(6，3)+C（6,4），假设我们从6个位置中选择了5,6，在V中的选择也即是我们要将1,2,3,4有序地分成两部分，也即是在4个数的3个间隔中选择一个插入，有C(3，1)种。所以结果就为从C(6，1)+C(6，2)*C(3，1)+...+C(6,4)*C(3,3)。

类推到n,m(n>=m)，就有C(n+1,1)+C(n+1,2)*C(m-1,1)+...+C(n+1,k)*C(m-1,k-1)+...+C(n+1,m)。

注意到输入较大，求组合数要乘除同时进行。

#include<cstdio>

long long nchoosek(long long n,long long k)
{
    if(k == 0) return 1;
    long long x,y,z;
    x = y = z = 1;
    while(k)
    {
        x *= n;
        y *= k;
        if(x%y == 0)
        {
            z *= (x/y);
            x = y = 1;
        }
        n--;
        k--;
    }
    return z;
}

int main()
{
    long long n,m;
    long long num;
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&m)&&(n||m))
    {
        if(n == 0||m == 0)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(n < m)
        {
            n ^= m;
            m ^= n;
            n ^= m;
        }
        num = 0;
        for(int i = 1;i <= m;i++)
            num += nchoosek(n+1,i)*nchoosek(m-1,i-1);
        printf("%lld\n",num);
    }
    return 0;
}