[USACO11OPEN] Mowing the Lawn G题解

题面 [USACO11OPEN] Mowing the Lawn G

题目描述

在一年前赢得了小镇的最佳草坪比赛后，Farmer John 变得很懒，再也没有修剪过草坪。现在，新一轮的最佳草坪比赛又开始了，Farmer John 希望能够再次夺冠。

然而，Farmer John 的草坪非常脏乱，因此，Farmer John 只能够让他的奶牛来完成这项工作。Farmer John 有 $N$（$1\le N\le 10^5$）只排成一排的奶牛，编号为 $1\dots N$。每只奶牛的效率是不同的，奶牛 $i$ 的效率为 $E_i$（$0\le E_i\le 10^9$）。

靠近的奶牛们很熟悉，因此，如果 Farmer John安排超过 $K$ 只连续的奶牛，那么，这些奶牛就会罢工去开派对 😃。因此，现在 Farmer John 需要你的帮助，计算 FJ 可以得到的最大效率，并且该方案中没有连续的超过 $K$ 只奶牛。

输入格式

第一行：空格隔开的两个整数 $N$ 和 $K$。

第二到 $N+1$ 行：第 $i+1$ 行有一个整数 $E_i$。

输出格式

第一行：一个值，表示 Farmer John 可以得到的最大的效率值。

样例 #1

样例输入 #1

5 2
1
2
3
4
5

样例输出 #1

12

动态规划

发现这题的限制条件类似于“没有上司的舞会”，即前面的选不选对后面造成“能不能选”的影响。

于是尝试设有与没有两种状态：

$d{p}_{i,1}$表示仅考虑前$i$头奶牛时选择第$i$头奶牛的最大值

$d{p}_{i,0}$表示仅考虑前$i$头奶牛时不选第$i$头奶牛的最大值。

接下来计算递推式：

dpi,0=maxj∈[1,i){dpj,0,dpj,1}dp_{i,0}=\mathop{max}\limits_{j\in[1,i)}\{dp_{j,0},dp_{j,1}\}dpi,0​=j∈[1,i)max​{dpj,0​,dpj,1​}

dpi,1=maxj∈[i−k,i){dpj,0+∑t=j+1iEt}dp_{i,1}=\mathop{max}\limits_{j\in[i-k,i)}\{dp_{j,0}+\sum\limits_{t=j+1}^{i}E_t\}dpi,1​=j∈[i−k,i)max​{dpj,0​+t=j+1∑i​Et​}

发现这样递推有$O(n^3)$的复杂度（一层$i$循环，一层$j$循环，一层$t$循环），同时$n\le 10^5$，所以要优化。

对于$d{p}_{i,0}$，容易发现是单调不减的，所以可以直接写作dpi,0=max{dpi−1,0,dpi−1,1}dp_{i,0}=max\{dp_{i-1,0},dp_{i-1,1}\}dpi,0​=max{dpi−1,0​,dpi−1,1​}

接下来看$d{p}_{i,1}$的优化：

首先发现$\sum _{t=j+1}^i{E}_t$部分可以用前缀和$su{m}_i-su{m}_j$替换，时间复杂度变为$O(n^2)$

其次对式子进行处理：

dpi,1=maxj∈[i−k,i){dpj,0+sumi−sumj} =maxj∈[i−k,i){dpj,0−sumj}+sumidp_{i,1} =\mathop{max}\limits_{j\in[i-k,i)}\{dp_{j,0}+sum_i-sum_j\} \\ \ =\mathop{max}\limits_{j\in[i-k,i)}\{dp_{j,0}-sum_j\}+sum_idpi,1​=j∈[i−k,i)max​{dpj,0​+sumi​−sumj​} =j∈[i−k,i)max​{dpj,0​−sumj​}+sumi​

于是变为维护$d{p}_{j,0}-su{m}_j$的最大值，一眼滑动窗口问题，单调队列优化即可。

另外，第二维是可以被优化掉的，即$d{p}_i=max(d{p}_{i,1},d{p}_{i,0})$

代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring> 

using namespace std;

const int N = 1e5+5;

long long sum[N],n,m,f[N],q[N];
int t=0,h=0;

int main()
{
	cin>>n>>m;
	long long maxx = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>sum[i]; 
		sum[i]+=sum[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while(t>=h && f[i-1]-sum[i]>=f[q[t]-1]-sum[q[t]])
			t--;
		t++;
		q[t] = i;
		while(t>=h && q[h]<i-m)
			h++;
		int j = q[h];
		f[i] = sum[i]+f[j-1]-sum[j];
		maxx = max(maxx,f[i]);
	}
	cout<<maxx<<endl;
	return 0;
}