看到区间修改区间查询，大家一定会觉得这是一个线段树题
然后再看修改操作
a
i
=
c
a
i
a_i=c^{a_i}
ai=cai
这玩意真的能用线段树维护吗？？？
答案是：显然不能
那怎么办呢？
看到这么多落在一起的幂，好多还都一样(
c
c
c)，我们可以联想到这道题所以我们可以用扩展欧拉定理推一下，顺便给自己的博客打广告嘤嘤嘤~
根据扩展欧拉定理：
a
c
≡
a
c
m
o
d
ϕ
(
p
)
+
ϕ
(
p
)
m
o
d
p
a^c\equiv a^{c\bmod \phi(p)+\phi(p)}\bmod p
ac≡acmodϕ(p)+ϕ(p)modp
那么经过一段时间，当
ϕ
(
ϕ
(
ϕ
(
ϕ
(
.
.
.
ϕ
(
ϕ
(
p
)
)
)
)
)
)
=
1
\phi(\phi(\phi(\phi(...\phi(\phi(p))))))=1
ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(...ϕ(ϕ(p))))))=1之后，我们的式子就变成了
c
c
c
.
.
.
c
c^{c^{c...^c}}
ccc...c，就和
a
i
a_i
ai无关了！！！
于是我们又想到了这道题，采取一样的做法，对于修改，暴力修改如果修改到
ϕ
(
ϕ
(
ϕ
(
ϕ
(
.
.
.
ϕ
(
ϕ
(
p
)
)
)
)
)
)
=
1
\phi(\phi(\phi(\phi(...\phi(\phi(p))))))=1
ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(...ϕ(ϕ(p))))))=1之后就不管他了
可以证明，最多经过
2
log
p
2\log p
2logp次之后，
ϕ
(
ϕ
(
ϕ
(
ϕ
(
.
.
.
ϕ
(
ϕ
(
p
)
)
)
)
)
)
=
1
\phi(\phi(\phi(\phi(...\phi(\phi(p))))))=1
ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(...ϕ(ϕ(p))))))=1，也就是说每个点最多会被修改
2
log
p
2\log p
2logp次，而每次修改最多需要
log
\log
log次递归，每次递归的时候需要
log
\log
log的时间来算快速幂，也就是说这道题我们就做出了一种
O
(
m
log
3
p
)
O(m\log^3 p)
O(mlog3p)的做法
然后我们手推一下就会发现
5
×
1
0
4
×
log
3
(
1
0
8
)
≈
4
×
1
0
9
5\times 10^4\times \log^3 (10^8)\approx4\times10^9
5×104×log3(108)≈4×109显然是跑不过去的，但是能够拿到
80
80
80分，但是因为这题标程出锅了，所以数据特别水，所以实际能够拿到
90
90
90。
但是注意这里有一个细节，因为扩展欧拉定理只有在指数
c
≥
ϕ
(
p
)
c\geq \phi(p)
c≥ϕ(p)的时候才成立，所以我们要判断一下要不要加上
ϕ
(
p
)
\phi(p)
ϕ(p)，这里可以用一个flag变量来求
先贴一个
90
90
90分代码吧
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
template<typename T> void read(T &x){
x=0;int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
x*=f;
}
# define int long long
int n,m,p,c;
int a[N];
int phi[N],dep;
bool flag;
struct segment_tree{
int l,r;
int sum,tim;
}seg[N<<2];
# define lc (u<<1)
# define rc (u<<1|1)
int getphi(int x){
int res=x;
for(int i=2;1ll*i*i<=x;i++){
if(x%i==0)
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0)x/=i;
}
if(x>1)res=res/x*(x-1);
return res;
}
void init(){
int x=p;
phi[0]=x;
while(x>1){
x=getphi(x);
phi[++dep]=x;
}
phi[++dep]=1;
}
int Qpow(int base,int ind,int p){
int res=1;
while(ind){
if(ind&1)res=1ll*res*base;
base=1ll*base*base%p;
ind>>=1;
if(res>=p)flag=true,res%=p;
if(base>=p)flag=true,base%=p;
}
return res;
}
int calc(int id,int lim,int d){
flag=false;
if(d==lim){
if(a[id]>=phi[d]){
flag=true;
return a[id]%phi[d];
}
return a[id];
}
int x=calc(id,lim,d+1);
if(flag)x+=phi[d+1],flag=false;
return Qpow(c,x,phi[d]);
}
void pushup(int u){
seg[u].sum=(seg[lc].sum+seg[rc].sum)%p;
seg[u].tim=min(seg[lc].tim,seg[rc].tim);
}
void build(int u,int l,int r){
seg[u].l=l,seg[u].r=r;
if(l==r){
seg[u].sum=a[l];
seg[u].tim=0;
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
pushup(u);
}
void update(int u,int l,int r){
if(seg[u].tim>=dep)return;
if(seg[u].l==seg[u].r){
seg[u].tim++;
seg[u].sum=calc(seg[u].l,seg[u].tim,0);
return;
}
int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
if(l<=mid)update(lc,l,r);
if(r>mid)update(rc,l,r);
pushup(u);
}
int query(int u,int l,int r){
if(seg[u].l>=l&&seg[u].r<=r)return seg[u].sum;
int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
int res=0;
if(l<=mid)res+=query(lc,l,r);
if(r>mid)res+=query(rc,l,r);
res%=p;
return res;
}
signed main()
{
read(n),read(m),read(p),read(c);
Rep(i,1,n)read(a[i]);
init();
build(1,1,n);
Rep(i,1,m){
int opt,x,y;
read(opt),read(x),read(y);
if(!opt)update(1,x,y);
else printf("%lld\n",query(1,x,y));
}
return 0;
}
那么我们考虑怎么优化
我们发现我们每次暴力求答案的时候，底数是一样的，而模数也不多
所以我们可以对于每个模数进行一下光速幂（继续打广告）然后我们可以优化掉一个
log
\log
log变成
O
(
m
log
2
p
)
O(m\log^2p)
O(mlog2p)就解决了
同时我们也要在预处理的时候处理一下有没有溢出的情况（在做的过程中出现了
≥
ϕ
(
p
)
\geq\phi(p)
≥ϕ(p)），如果有就加上
ϕ
(
p
)
\phi(p)
ϕ(p)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
typedef long long ll;
const int N=1e5+5;
const int bl=10000;
const int M=65;
template<typename T> void read(T &x){
x=0;int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
x*=f;
}
# define int long long
int n,m,p,c;
int a[N];
int phi[N],dep;
int qpow[bl+5][M][2];
bool flag,over[bl+5][M][2];
struct segment_tree{
int l,r;
int sum,tim;
}seg[N<<2];
# define lc (u<<1)
# define rc (u<<1|1)
int getphi(int x){
int res=x;
for(int i=2;1ll*i*i<=x;i++){
if(x%i==0)
res=res/i*(i-1);
while(x%i==0)x/=i;
}
if(x>1)res=res/x*(x-1);
return res;
}
void init(){
int x=p;
phi[0]=x;
while(x>1){
x=getphi(x);
phi[++dep]=x;
}
phi[++dep]=1;
Rep(i,0,dep){
qpow[0][i][0]=1;
Rep(j,1,bl){
qpow[j][i][0]=qpow[j-1][i][0]*c;
if(qpow[j][i][0]>=phi[i])over[j][i][0]=true,qpow[j][i][0]%=phi[i];
over[j][i][0]|=over[j-1][i][0];
}
}
Rep(i,0,dep){
qpow[0][i][1]=1;
Rep(j,1,bl){
qpow[j][i][1]=qpow[j-1][i][1]*qpow[bl][i][0];
if(qpow[j][i][1]>=phi[i])over[j][i][1]=true,qpow[j][i][1]%=phi[i];
over[j][i][1]|=over[j-1][i][1];
}
}
}
int Qpow(int ind,int p){
flag|=over[ind%bl][p][0]|over[ind/bl][p][1];
int res=qpow[ind%bl][p][0]*qpow[ind/bl][p][1];
if(res>=phi[p])flag=true,res%=phi[p];
return res;
}
int calc(int id,int lim,int d){
flag=false;
if(d==lim){
if(a[id]>=phi[d]){
flag=true;
return a[id]%phi[d];
}
return a[id];
}
int x=calc(id,lim,d+1);
if(flag)x+=phi[d+1],flag=false;
return Qpow(x,d);
}
void pushup(int u){
seg[u].sum=(seg[lc].sum+seg[rc].sum)%p;
seg[u].tim=min(seg[lc].tim,seg[rc].tim);
}
void build(int u,int l,int r){
seg[u].l=l,seg[u].r=r;
if(l==r){
seg[u].sum=a[l];
seg[u].tim=0;
return;
}
int mid=l+r>>1;
build(lc,l,mid);
build(rc,mid+1,r);
pushup(u);
}
void update(int u,int l,int r){
if(seg[u].tim>=dep)return;
if(seg[u].l==seg[u].r){
seg[u].tim++;
seg[u].sum=calc(seg[u].l,seg[u].tim,0);
return;
}
int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
if(l<=mid)update(lc,l,r);
if(r>mid)update(rc,l,r);
pushup(u);
}
int query(int u,int l,int r){
if(seg[u].l>=l&&seg[u].r<=r)return seg[u].sum;
int mid=seg[u].l+seg[u].r>>1;
int res=0;
if(l<=mid)res+=query(lc,l,r);
if(r>mid)res+=query(rc,l,r);
res%=p;
return res;
}
signed main()
{
read(n),read(m),read(p),read(c);
Rep(i,1,n)read(a[i]);
init();
build(1,1,n);
Rep(i,1,m){
int opt,x,y;
read(opt),read(x),read(y);
if(!opt)update(1,x,y);
else printf("%lld\n",query(1,x,y));
}
return 0;
}
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