DP背包问题详解-优快云博客

实战DP

背包问题
LeetCode 132
参考文献

背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-w[i]]+v[i] }。
可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值v[i]。
注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为f[v]。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0…V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。
空间复杂
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V），其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V）。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1…N，每次算出来二维数组f[i][0…V]的所有值。那么，如果只用一个数组f [0…V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？
f[i][v]是由f[i-1][v]和f [i-1][v-w[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[v]和f[v -w[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V…0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-w[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：
for i=1…N
for v=V…0
f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]+v[i]};
其中的f[v]=max{f[v],f[v-w[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]}，因为的
f[v-w[i]]就相当于原来的f[i-1][v-w[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-w[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题P02最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。

实例

def bag(n, c, w, v):
    """
    测试数据：
    n = 6  物品的数量，
    c = 10 书包能承受的重量，
    w = [2, 2, 3, 1, 5, 2] 每个物品的重量，
    v = [2, 3, 1, 5, 4, 3] 每个物品的价值
    """
    # 置零，表示初始状态
    value = [[0 for j in range(c + 1)] for i in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            value[i][j] = value[i - 1][j]
            # 背包总容量够放当前物体，遍历前一个状态考虑是否置换
            if j >= w[i - 1] and value[i][j] < value[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]:
                value[i][j] = value[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]
    for x in value:
        print(x)
    return value

LeetCode 132

思路

这里需要二重动态规划，一个用来记录p[i][j]判断s[i][j]是否回文字符串，另外一个ans[i]代表s[:i]的最小cut是多少。如果s[i :j]是回文字符串，那么ans[j] = min(ans[j],ans[i - 1] + 1)。

class Solution(object):
    def minCut(self, s):
        """
        :type s: str
        :rtype: int
        """
        size = len(s)
        ans = [i for i in range(size)]
        p = [[False for i in range(size)] for j in range(size)]
        j = 1
        while j < size:
            i,ans[j] = j - 1,min(ans[j],ans[j - 1] + 1) 
            p[j][j] = True
            while i >= 0:
                if s[i] == s[j] and ((j - i) < 2 or  p[i+1][j-1]):
                    p[i][j] = True
                    if i == 0:
                        ans[j] = 0
                    else:
                        ans[j] = min(ans[j],ans[i - 1] + 1)
                i -= 1
            j += 1
        return ans[size - 1]