扩展GCD

单木

于 2016-04-07 21:40:43 发布

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分类专栏：数学

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本文详细介绍了扩展欧几里得算法的原理及其应用，包括算法的模板代码、推导过程、证明方法以及如何求解更一般的线性方程组。此外，还列举了一些与该算法相关的典型题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

a*x+b*y=d,d=gcd(a,b).

模板代码：

void exgcd(int a,int b,int& d,LL &x,LL &y){
	if(b==0){
		d=a;
		x=1;y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b,d,y,x);
	y-=a/b*x;
}

-----取自小白

算法推导及证明：

设，当时，，此时，否则设

由于，所以进一步得到

所以得到

证明过程来自 acdream的博客，orz。
详见算导（第二版）528；具体数学86。

其它解：

a*x1+b*y1=a*x2+b*y2 ---->
a*(x1-x2)=b*(y2-y1) ------>
a/d*(x1-x2)=b/d*(y2-y1) --------------->
a/d,b/d互质 -------------->
x1-x2=k*(b/d),y2-y1=k*(a/d) --------------->
x=x0+b/d*k,y=y0-a/d*k,k为任意整数。

性质：

a*b!=0,|x|<=b且|y|<=a。

与扩展GCD有关的算法：

中国剩余定理

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poj1061,2115。
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