【图论】【最短路】斯坦纳树

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分类专栏：算法竞赛文章标签：图论算法动态规划 c++

于 2021-11-19 17:37:43 首次发布

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本文详细介绍了斯坦纳树问题，包括定义、应用背景及其求解算法。通过动态规划方法求解最小斯坦纳树问题，利用松弛操作进行状态更新，最终找到连接指定顶点集合的最短路径。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斯坦纳树

给定n个点，试求连接此n个点，总长最短的直线段连接系统，并且任意两点都可由系统中的直线段组成的折线连接起来。
模板题：无向连通图,可能自环和重边，给定k个关键点，求一个子图使得边权和最小。
分析
- 子图一定是树，否则一定可以去环使得边权和变小。这棵树就是最小斯坦纳树。
- 设 $d p (i, S)$ 表示 $i$ 为根，包含点集 $S$ 中所有点的最小权值和
- 设 $T$ 是 $S$ 的子集，则 $d p (i, S)$ 由 $d p (i, T) + d p (i, S - T)$ 转移而来。
- 松弛操作，对于 $i$ 的相邻节点 $j$ ： $f (i, S) = m i n (f (i, S), f (j, S) + w (j, i))$
整体步骤
- 将 $d p$ 初始化为 $0 x 3 f 3 f 3 f 3 f$
- 枚举给定点的子集 $S$
  - 对于 $S$ 枚举子集 $T$ ，更新每个节点的 $d p$
  - 如果权值和被更新，说明这个点可行，加入 $s p f a$ 的队列
  - 进行 $s p f a$ 更新队列中点的相邻点的答案
- 答案是给定点中的任意点 $i$ 的 $d p$ 值

for (int i = 0; i < k; i++)
{
	read(p[i]);
	dp[p[i]][1 << i] = 0;
}
int up = (1 << k) - 1;
for (int s1 = 0; s1 <= up; s1++) //枚举给定点的子集递推
{
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int s2 = s1 & s1 - 1; s2; s2 = s2 - 1 & s1)			//枚举当前点集的子集
			dp[i][s1] = min(dp[i][s1], dp[i][s2] + dp[i][s1 ^ s2]); //dp(i,S)<-dp(i,T)+dp(i,S_T)
		if (dp[i][s1] < INF)
		{
			q.push(i);
			vst[i] = true;
		}
	}
	spfa(s1); 
}
//spfa里的松弛操作：
// if (dp[v][S] > dp[u][S] + w)
// {
// 	dp[v][S] = dp[u][S] + w;
// 	if (!vst[v]) //如果不在队列里就加入
// 		q.push(v), vst[v] = true;
// }