*递推 - 矩阵快速幂解斐波拉契数

最新推荐文章于 2024-07-25 12:55:56 发布

HyperDai

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分类专栏： C/C++ 数学其他文章标签：矩阵快速幂

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本文介绍使用矩阵快速幂求解斐波那契数列的方法，并应用于寻找特定条件下最小的“坏”正整数。通过矩阵运算提高算法效率，解决大数问题，并提供代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：number number number

Problem Description

We define a sequence F:
F0=0,F1=1;
Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥2).
Give you an integer k, if a positive number n can be expressed by
n=Fa1+Fa2+…+Fak where 0≤a1≤a2≤……≤ak, this positive number is mjf?good. Otherwise, this positive number is mjf?bad.
Now, give you an integer k, you task is to find the minimal positive mjf?bad number.
The answer may be too large. Please print the answer modulo 998244353.

Input

There are about 500 test cases, end up with EOF.
Each test case includes an integer k which is described above. (1≤k≤109)

Output

For each case, output the minimal mjf?bad number mod 998244353.

Sample Input

Sample Output

矩阵快速幂解斐波拉契数

矩阵快速幂与快速幂思想相同。
分析斐波拉契数论，f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2]。

由f[i] = 1*f[i-1]+1*f[i-2]和f[i-1] = 1*f[i-1] + 0*f[i-2];我们可以给出矩阵形式。
这里写图片描述
所以，递推矩阵有

注：这里完全可以不用vector，用LL a[2][2]即可，vector可能超时。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;

typedef long long LL;
const LL mod=998244353;
typedef vector<LL> vec;
typedef vector<vec> mat;

mat mul(mat &a,mat &b)
{
    mat c(a.size(),vec(b[0].size()));
    for(int i=0; i<2; i++)
    {
        for(int j=0; j<2; j++)
        {
            for(int k=0; k<2; k++)
            {
                c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
                c[i][j]%=mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
mat pow(mat a,LL n)
{
    mat res(a.size(),vec(a.size()));
    for(int i=0; i<a.size(); i++)
        res[i][i]=1;//单位矩阵;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=mul(res,a);
        a=mul(a,a);
        n/=2;
    }
    return res;
}
LL fib(LL n)
{
    mat a(2,vec(2));
    a[0][0]=1;
    a[0][1]=1;
    a[1][0]=1;
    a[1][1]=0;
    a=pow(a,n);
    return a[0][1];//也可以是a[1][0];
}
int  main()
{

    LL n;
    while(scanf("%lld",&n)==1)
    {
        printf("%lld\n",fib(2*n+3)-1);
    }
    return 0;
}