java实现斐波那契数列求解办法

    斐波那契数列最早是根据兔子繁殖问题而产生的，大致有这样的一个数列：1,1,2,3,5,8,13，。。。，其中第一、第二项固定为1，后面每一项都是前面两项之和。使用数学公式就是f(n) = f(n-1)+f(n-2)。

     直观来看，最简单的做法就是通过递归求解。

public static long fib1(int n) {
	if(n<1)
		return -1;
	if(n==1||n==2)
		return 1;
	return fib1(n-2)+fib1(n-1);
}

     这种算法，时间复杂度为O(n*n)。因为递归算法，需要分解和回归，两次都很耗时间。而且随着n的增大，这个算法时间复杂度会指数级增长。

      接着，算法改进。这个数列，其实每一项，通过计算都是可以得到的，我们从1到n，依次计算f(n)，然后将计算结果存入一个数组（这里需要申请一个数组存储结算结果），最后返回f(n)的结果，问题就解决了。

public static long fib2(int n) {
	if(n<1)
		return -1;
	long[] data = new long[n+1];
	data[1] = 1;
	data[2] = 1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		data[i] = data[i-1] + data[i-2];
	return data[n];
}

    算法复杂度一下子就发生了改变，从O(n*n)变为O(n)，但是空间复杂度增加了，因为申请了数组。 

    接着，算法还可以改进，因为我们只需要求最后的结果，而且我们借助一个中间变量，保存最新计算的结果，不需要申请数组。这种算法也叫动态规划算法。就是迭代计算每个结果，直到计算出n的结果。

public static long fib3(int n) {
	long i,a,b;
	if(n<1)
		return -1;
	if(n==1||n==2)
		return 1;
	a = 1;
	b = 1;
	for(i=3;i<=n;i++) {
		b = a + b;
		a = b - a;
	}
	return b;
}

 时间复杂度还是O(n)，而空间复杂度变为了O(1)。

 这里还有一种办法，就是直接根据公式计算，这里的计算公式：

public static long fib4(int n) {
	double result = 0;
	double sqrt5 = Math.sqrt(5);
	result = (Math.pow((1+sqrt5)/2, n)-Math.pow((1-sqrt5)/2,n))/sq