CodeForces - 940E Cashback

CodeForces - 940E Cashback

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题意：给一个串，现在把一个串分成任意多个区间，设一个区间长度为k，然后每个区间将自己最小的k/c（向下取整）个数删除，问删除数后所有区间的数字之和。
题解：首先先想这很符合dp，但是没有办法处理区间中最小的那些数，就算处理好了，dp也是$O(n^2)$级别的，所以要先想别的办法。贪心修改数学模型是不错的方法，这题我们可以想到如果一个区间长度为2c，那我们可以删两个数。但如果我们把区间变成c+c两个区间，答案一定会更优。如果一个区间长度是（c+a）（a<c），那这个区间就可以拆成c+a两个区间，答案没有影响。于是，这题就变为如果要用删除操作，那么这个区间长度一定是c，剩下的区间长度都小于c（等于直接相加）。
先考虑那些区间小于c的那么$dp[i]=min(dp[i-k]+Sum[i]-Sum[i-k])（k<c）$这个可以用单调队列实现$O(n)$，然后再加一个$dp[i]=min(dp[i],dp[i-c]+Sum[i]-Sum[i-c]-Min[i])$Min[i]表示i前c个数的最小一个的值，其中Min[i]也可以用单调队列实现$O(n)$。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int INF=1e9+5;
struct node
{
	long long num;
	int id;
};
long long dp[maxn];
int a[maxn];
node Q[maxn];
long long sum[maxn];
int Mi[maxn];
int l,r,n,c;
int main()
{
	int n;
	cin >> n >> c;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin >> a[i];
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	l=r=1;
	Q[l]={INF,0};
	if (c==1) cout <<0;
	else
	{
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			while (i-Q[l].id>=c)
				l++;
			while (Q[r].num>a[i]&&l<=r) 
				r--;
			Q[++r]={a[i],i};
			Mi[i]=Q[l].num;
		}
		l=r=1;
		Q[l]={0,0};
		for (int i=1;i<=n;i++)
		{
			while (i-Q[l].id>=c-1) l++;
			if (c==2)
				dp[i]=dp[i-1]+a[i];
			else
				dp[i]=Q[l].num+sum[i];
			if (i>=c)
				dp[i]=min(dp[i-c]+sum[i]-sum[i-c]-Mi[i],dp[i]);
			long long u=dp[i]-sum[i];
			while (Q[r].num>u&&l<=r) r--;
			Q[++r]={u,i};
		}
		cout << dp[n];
	}
}