【树】 B树、B-树、B+树、B*树

先说明下：二叉查找树是Binary Search Tree（BST），而不是B Tree。B Tree就是B-Tree.  二叉树 ,英文叫 Binary Tree。  B树, 英文叫 B-Tree (注意是连起来的)

B-树其实就是B树，或者叫B_树，源于英文的B-tree（B_tree）,把tree翻译成中文就成为了通常说的B-树或者B_树，其实就是B树，一个东西来的。所谓的二叉搜索树叫BST（binary search tree）（以上只是个人理解）

B树：二叉搜索树

B-树：多路搜索树

B+树：增加了一个横向

红黑树（又称对称二叉B树）：平衡二叉查找书，有良好的最坏运行时间O(logn)，典型用途：关联数组。

1.前言：

动态查找树主要有：二叉查找树（Binary Search Tree），平衡二叉查找树（Balanced Binary Search Tree），红黑树(Red-Black Tree )，B-tree/B⁺-tree/ B^*-tree (B~Tree)。前三者是典型的二叉查找树结构，其查找的时间复杂度O(log₂N)与树的深度相关，那么降低树的深度自然会提高查找效率。

但是咱们有面对这样一个实际问题：就是大规模数据存储中，实现索引查询这样一个实际背景下，树节点存储的元素数量是有限的（如果元素数量非常多的话，查找就退化成节点内部的线性查找了），这样导致二叉查找树结构由于树的深度过大而造成磁盘I/O读写过于频繁，进而导致查询效率低下（为什么会出现这种情况，待会在外部存储器-磁盘中有所解释），那么如何减少树的深度（当然是不能减少查询的数据量），一个基本的想法就是：采用多叉树结构（由于树节点元素数量是有限的，自然该节点的子树数量也就是有限的）。

也就是说，因为磁盘的操作费时费资源，如果过于频繁的多次查找势必效率低下。那么如何提高效率，即如何避免磁盘过于频繁的多次查找呢？根据磁盘查找存取的次数往往由树的高度所决定，所以，只要我们通过某种较好的树结构减少树的结构尽量减少树的高度，那么是不是便能有效减少磁盘查找存取的次数呢？那这种有效的树结构是一种怎样的树呢？

这样我们就提出了一个新的查找树结构——多路查找树。根据平衡二叉树的启发，自然就想到平衡多路查找树结构，也就是这篇文章所要阐述的第一个主题B~tree，即B树结构(后面，我们将看到，B树的各种操作能使B树保持较低的高度，从而达到有效避免磁盘过于频繁的查找存取操作，从而有效提高查找效率)。

B-tree（B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思）这棵神奇的树是在Rudolf Bayer, Edward M. McCreight(1970)写的一篇论文《Organization and Maintenance of Large Ordered Indices》中首次提出的（wikipedia中：http://en.wikipedia.org/wiki/B-tree，阐述了B-tree名字来源以及相关的开源地址）。

在开始介绍B~tree之前，先了解下相关的硬件知识，才能很好的了解为什么需要B~tree这种外存数据结构。

更详细的介绍见：http://blog.youkuaiyun.com/v_JULY_v/article/details/6530142/

BST树

       即二叉搜索树：

       1.所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；

       2.所有结点存储一个关键字；

       3.非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；

       如：

       

       BST树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；

否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入

右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；

       如果B树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树

的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变B树结构

（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；

       如：

      

   但BST树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：

   右边也是一个B树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用B树还要考虑尽可能让B树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；      

       实际使用的B树都是在原B树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持B树结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在B树中插入和删除结点的策略；

 

 

B-树（又叫B树）

       是一种多路搜索树（并不是二叉的）：

       1.定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

       2.根结点的儿子数为[2, M]；

       3.除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

       4.每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

       5.非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

       6.非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的

子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

       8.所有叶子结点位于同一层；

       如：（M=3）

       B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果

命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为

空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

       1.关键字集合分布在整颗树中；

       2.任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；

       3.搜索有可能在非叶子结点结束；

       4.其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；

       5.自动层次控制；

       由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有M/2个儿子，确保了结点的至少

利用率，其最底搜索性能为：

    

       其中，M为设定的非叶子结点最多子树个数，N为关键字总数；

       所以B-树的性能总是等价于二分查找（与M值无关），也就没有B树平衡的问题；

       由于M/2的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占M/2的结点；删除结点时，需将两个不足M/2的兄弟结点合并；

 

 

B+树

       B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

       1.其定义基本与B-树同，除了：

       2.非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；

       3.非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树

（B-树是开区间）；

       5.为所有叶子结点增加一个链指针；

       6.所有关键字都在叶子结点出现；

       如：（M=3）

   B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在

非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好

是有序的；

       2.不可能在非叶子结点命中；

       3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储

（关键字）数据的数据层；

       4.更适合文件索引系统；

  

B*树

       是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；

   B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3（代替B+树的1/2）；

       B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；

     B*树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字

（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；

       所以，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高；

  

小结

       B树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于走右结点；

       B-树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点；所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；

       B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；

       B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；

更简洁总结：

通过以上介绍，大致将B树，B+树，B*树总结如下：

B树：有序数组+平衡多叉树；

B+树：有序数组链表+平衡多叉树；

B*树：一棵丰满的B+树。