【字符串】 KMP算法小结(通俗易理解)

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原创最新推荐文章于 2026-05-26 11:41:32 发布 576 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

[KMP算法]最简单通俗易懂求next数组的方法什么是KMP算法 KMP算法又称看毛片算法，是用来进行字符匹配的，比如要检查一个字符串S[]里是否有字符串P[]，如果用暴力算法的话，也是可以解的，但是效率特别低，时间复杂度为O（m*n），而如果你用看毛片算法的话，时间复杂度为O（m+n）。本文先单独讲述kmp算法中一个重要的数组——next[]数组的求法，如果一个字符没有匹配成功，那么进行查询next数组将指针回溯，也可以理解成将目标数组往后... 阅读详情

1. 暴力匹配算法

假设现在我们面临这样一个问题：有一个文本串S，和一个模式串P，现在要查找P在S中的位置，怎么查找呢？

如果用暴力匹配的思路，并假设现在文本串S匹配到 i 位置，模式串P匹配到 j 位置，则有：

如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++，继续匹配下一个字符；
如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。

理清楚了暴力匹配算法的流程及内在的逻辑，咱们可以写出暴力匹配的代码，如下：

 
   int ViolentMatch(char* s, char* p)  
 {  
     int sLen = strlen(s);  
     int pLen = strlen(p);  
   
     int i = 0;  
     int j = 0;  
     while (i < sLen && j < pLen)  
     {  
         if (s[i] == p[j])  
         {  
             //①如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++      
             i++;  
             j++;  
         }  
         else  
         {  
             //②如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0      
             i = i - j + 1;  
             j = 0;  
         }  
     }  
     //匹配成功，返回模式串p在文本串s中的位置，否则返回-1  
     if (j == pLen)  
         return i - j;  
     else  
         return -1;  
 }  
 
 

举个例子，如果给定文本串S“BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”，和模式串P“ABCDABD”，现在要拿模式串P去跟文本串S匹配，整个过程如下所示：

1. S[0]为B，P[0]为A，不匹配，执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，S[1]跟P[0]匹配，相当于模式串要往右移动一位（i=1，j=0）

2. S[1]跟P[0]还是不匹配，继续执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，S[2]跟P[0]匹配（i=2，j=0），从而模式串不断的向右移动一位（不断的执行“令i = i - (j - 1)，j = 0”，i从2变到4，j一直为0）

3 . 直到S[4]跟P[0]匹配成功（i=4，j=0），此时按照上面的暴力匹配算法的思路，转而执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，可得S[i]为S[5]，P[j]为P[1]，即接下来S[5]跟P[1]匹配（i=5，j=1）

4 . S[5]跟P[1]匹配成功，继续执行第①条指令：“如果当前字符匹配成功（即S[i] == P[j]），则i++，j++”，得到S[6]跟P[2]匹配（i=6，j=2），如此进行下去

5. 直到S[10]为空格字符，P[6]为字符D（i=10，j=6），因为不匹配，重新执行第②条指令：“如果失配（即S[i]! = P[j]），令i = i - (j - 1)，j = 0”，相当于S[5]跟P[0]匹配（i=5，j=0）

6 . 至此，我们可以看到，如果按照暴力匹配算法的思路，尽管之前文本串和模式串已经分别匹配到了S[9]、P[5]，但因为S[10]跟P[6]不匹配，所以文本串回溯到S[5]，模式串回溯到P[0]，从而让S[5]跟P[0]匹配。

而S[5]肯定跟P[0]失配。为什么呢？因为在之前第4步匹配中，我们已经得知S[5] = P[1] = B，而P[0] = A，即P[1] != P[0]，故S[5]必定不等于P[0]，所以回溯过去必然会导致失配。那有没有一种算法，让i 不往回退，只需要移动j 即可呢？

答案是肯定的。这种算法就是本文的主旨KMP算法，它利用之前已经部分匹配这个有效信息，保持i 不回溯，通过修改j 的位置，让模式串尽量地移动到有效的位置。

2. KMP算法

首先声明要搜索的串为S,设长度为n，要匹配的串为M,设长度为m.

先考虑暴力的算法，暴力的算法是遍历S的每一个字符，然后从这个字符开始和M串进行匹配。时间复杂度为O(nm).

怎么在此基础上进行优化？假设现在从某个位置(设为s)开始和M串进行匹配，如果匹配不成功，暴力算法是从这个位置的下一个位置(s+1)进行匹配,直观上来说就是匹配的字符串向后“滑动”了一位。

图1

能不能想办法让M向后移动的距离最大化？考虑最好的情况，如果和M匹配的S中的m个字符和M中的字符没有一个相等，那么能向右移动m位；考虑最坏的情况，比如上图，只能移动一位。

而KMP就是在这里做文章，让M串向后“滑动”的距离最大化。

图2

考虑上面的图，M中灰色部分已经和S的灰色部分匹配上了，而灰色部分后一个字符不匹配，则现在M要向后滑动，假设一直向后滑动，直到如图位置又和S再一次匹配上了，那么从这里我们可以得到如下的结论：

A段字符串是M的一个前缀。
B段字符串是M的一个后缀。
A段字符串和B段字符串相等。

这样，如果暂时不考虑S，只看M的话，假设已经匹配的M的字串(即图中M中灰色部分)为subM，则subM有个【相等】的【前缀】和【后缀】。而且M在遇到不匹配的时候可以直接滑动到使subM的前缀和subM的后缀重合的地方。而M向后滑动的时候，第一次subM的前缀和后缀重合意味着此时这个相等的subM的前缀和后缀的长度是最大的。

我们的任务就是要寻找subM的最长的前缀和后缀相等的串。

知道了这一点，离KMP的真谛也就不远了。现在结合这上面的图模拟一下KMP算法的整个流程：

将S串和M串从第一个字符开始匹配；
如果匹配成功，则subM即灰色部分增加；
如果不成功，则M向后滑动使滑动后的subM的前缀和滑动前的subM的后缀重合，再进行匹配，如果还不成功，则再次滑动M，直到匹配成功或者M滑动到X处。如果到了X处，则从M串的起始位置进行匹配。

从上面的步骤可以知道，KMP的关键就是要知道当S串中的字符和M串中的字符不匹配时，S串要和M串中的哪个字符继续进行匹配。这个就是在利用状态机模型来解释KMP算法时的状态转移.

KMP是通过一个定义了一个next数组，这个next数组保存了如果S中的字符和M中的字符不匹配时S要和M中的哪个字符重新进行匹配的坐标值。如图2中所示是例子，S中的X位置和M不匹配了，那么S要和M中A段后面的字符进行比较，从图中来看是M向后滑动了。

换句话说，next[i]总是保存了当M[i]不匹配时要从M[next[i]]处进行匹配，这个M[next[i]]可能会匹配，如果还不匹配？那么可能会在M[next[next[i]]]处匹配了。这里同时隐含着一个信息，就是i之前的一段字符和next[i]之前的一段字符是相同的，也就是M[0…i-1]相等的前缀和后缀。

现在考虑next[0],next[1]…next[i]都已经知道了，那么图示如下：

设j=next[i]，灰色部分表明这两段字符是相等的，如果i位置的字符和j位置的字符相等，那么next[i+1]=j+1;因为前一段灰色部分和j位置的字符组成的字符串和后一段灰色的与i连接所形成的字符串是相等的。这正是前面对next数组的定义。如果不相等，则要找到从i开始包括i往前的一段字符串与从0开始的一段字符串相等，这样形成相等的前缀和后缀。所幸我们知道next[next[i]]的值，因为next[i]前面的字串也有最长的公共前缀和后缀，而这个公共的前缀与现在i以及往前形成的字串可能相等，这样一直向前找，如果找不到，则说明i位置的字符从来没有在之前出现过。

这样求出来的next数组其实是从下标1开始的，因为下标0之前是个空串，下标1则对应着M串的第0个字符。我们设next[0]=-1，仅仅是个标志而已，没有什么特殊的含义。

那么根据前面所述，可以很容易的写出初始化next数组的代码

void kmpGetNext()
{
    int i=0, j=-1;
    b[i]=j;
    while (i<m)
    {
        while (j>=0 && p[i]!=p[j]) j=b[j];
        i++; j++;
        b[i]=j;
    }
}

知道了next数组的值，则和S串进行匹配则相对简单了，因为如果碰到不匹配的时候去查找next数组即可,直到找出和当前字符匹配的那个字符。如果找不到怎么办？找不到则会得到-1，也就是没有字符和他进行匹配，那么跳过这个字符，直接从下一个字符进行匹配即可。

代码如下：

void kmpSearch()
{
    int i=0, j=0;
    while (i<n)
    {
        while (j>=0 && t[i]!=p[j]) j=b[j];
        i++; j++;
        if (j==m)
        {
            report(i-j);
            j=b[j];
        }
    }
}

看到上面的代码，两层循环，貌似这个代码并不是线性的，其实不然。外层循环了n次这个没有问题，关键是里面的while循环，这个循环的次数是多少并不好确定，然而考虑单单考虑j的值的变化，会发现第七行j增加1，而第6行j则减少，可能减少1，可能减少2，可能少的更多，但是j<0时循环就终止了，也就是说j有n次增加的机会，会有多少次减少的机会？或者问j最多减少多少次？j减少的次数最多的时候，就是每次减少1，这样最多的会减少n次，也就是说第六行的循环最多会执行n次。平摊到每个循环，则执行次数为O(1)，所以kmpSearch的时间复杂度仍然是线性的O(n)，同理，kmpGetNext的时间复杂度为O(m).详情请参考matrix67大牛的文章,下面有犀利的评论：