【Codeforces Round #196 (Div. 1)】Codeforces 338D GCD Table

本文介绍了一种解决特定数学问题的方法，该问题涉及求解一组(x,y)满足特定的gcd条件。通过确定x的范围并利用中国剩余定理求解y，最终验证解的有效性。代码实现使用了扩展欧几里得算法等技术。

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题目实际上要求一组 $(x,y)$ 满足

gcd (x, y + i) = a i + 1, 0 \leq i < k

$\gcd(x,y+i)=a_{i+1},0\le i\lt k$
首先可以找到

x $x$ 的范围，即

x=lcmki=1ai $x=lcm_{i=1}^k a_i$ 。
接下来考虑

y $y$ ，可以列出如下的式子

y≡−i(modai+1) $y\equiv -i\pmod {a_{i+1}}$ ，用中国剩余定理可以解出模

lcmki=1 $lcm_{i=1}^k$ 下的解。注意这里的模数不互质，但是依然可以解。只需要把方程两两合并，每次合并用扩展欧几里得算法即可。中间运算可能会爆long long，需要快速乘。
接下来只需要把得到的

x $x$ 和

y $y$ 进行验证，因为当前得到的

x $x$ 和

y $y$ 都是满足上述条件的最小的值，而且已经满足两者有这样的因数，只是有可能

gcd $\gcd$ 比要求的更大。扩大一定倍数后当然更不可能是解。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const LL oo=1e17;
LL a[10010];
LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
LL mul(LL x,LL y)
{
    double t=(double)x*y;
    if (t>oo) return oo;
    return x*y;
}
LL lcm(LL a,LL b)
{
    return mul(a/gcd(a,b),b);
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if (!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}
LL multi(LL base,LL k,LL mod)
{
    if (k<0)
    {
        base=-base;
        k=-k;
    }
    LL ret=0;
    for (;k;k>>=1,base=(base+base)%mod)
        if (k&1) ret=(ret+base)%mod;
    return ret;
}
int main()
{
    LL n,m,x=1,u,v,v1,w,y,t1,t2,g;
    int k;
    scanf("%I64d%I64d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=1;i<=k;i++) scanf("%I64d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=k;i++)
    {
        x=lcm(x,a[i]);
        if (x>n)
        {
            printf("NO\n");
            return 0;
        }
    }
    u=0;
    v=a[1];
    for (int i=2;i<=k;i++)
    {
        g=exgcd(v,a[i],t1,t2);
        w=-u-i+1;
        if (w%g)
        {
            printf("NO\n");
            return 0;
        }
        v1=v;
        v=v/g*a[i];
        u=multi(multi(w/g,t1,v),v1,v)+u;
        u%=v;
    }
    y=(u+v)%v;
    if (!y) y+=v;
    if (y+k-1>m)
    {
        printf("NO\n");
        return 0;
    }
    for (int i=1;i<=k;i++)
        if (gcd(x,y+i-1)!=a[i])
        {
            printf("NO\n");
            return 0;
        }
    printf("YES\n");
}