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如果一个滤波器组是正交滤波器组，则应该满足下列条件：上面提到的三个条件中的第二个就是之前高频和低频滤波器组的要求，通过这一条件可以推导出另外两个公式。每一个H（z）都可以分为奇数部分和偶数部分，通过这种分解建立第二个条件和第一个条件的关联，也就证明得到第一个条件成立。根据上一篇博客中的矩阵系数可以得到，由于矩阵系数是一个正交矩阵，因此整个矩阵系数只有在与自己相交的时候得到的才不为0而等于1

上面的公式是多相矩阵和之前介绍的调制矩阵的关系。下面是调制矩阵的形式。通过上面两个公式的结合可以得到下面的推导：上面的公式只是一个特例，也就是当L为奇数时才能够最后推导出FpHp的结果。但是如果L位偶数呢，则上面的结果不一定成立。下面是一个更通用的表示，不过最后的结果有一个共同点是不论L等于偶数还是奇数，两个矩阵的行列式相同。因此对整个矩阵的求解转化为对行列式的求解。而由于行列式最后是

之前的滤波器组的处理都是先滤波然后进行抽取（下采样），这样的处理流程明显使得一部分计算是无效的。所以能不能利用一些转化使得计算更高效呢？上图的整个推导是根据Z变换得到的，首先V（z）是最后的结果，结果是x经过H滤波之后进行下采样得到的。而第二行和第三行则是将x和H变为奇数部分和偶数部分。合并后就得到V可以由x和H相应的偶数和奇数部分得到。图一中的流程转变为上面公式中的流程，整个计算

傅里叶变换实现了信号的时域到频域的变换，然而由于傅里叶变换不具备空间位置信息，因此得到的是一个全局的频率谱，而并没有针对特定位置的频率进行分析。

低通滤波器（Lowpass Filter）的目的是移除差异保留平均，也就是移除高频保留低频，这个是一个比较直观的定义。利用数学公式进行解释就是，假设L={l(n)}是一个低频滤波器组，如果对L中的所有元素进行累加操作得到的结果不等于0，那么就说L是一个低通滤波器，大多数情况下累加操作的结果等于1。,高通滤波器刚好和低通滤波器相反——为了移除平均而保留差异，也就是说移除低频保留高频。在数学上的解释就

下采样是间隔一个抽取一个数值，而上采样则是间隔一位插入一个0。对信号x（n）进行下采样得到的y（n）=x（2n）。反过来对x（n）进行上采样得到的y（n）分为两部分，y（2n）=x（n）；y（2n+1）=0。从定义来看，上采样之后进行下采样可以得到信号的重构，而返过来似乎不能满足信号的重构。实际上，先进行下采样然后进行上采样同样可以对信号进行重构，只需要下采样的频率不要低于香农定理所规定的频率就可

右图是整个滤波器组重建原信号的一个过程。则整个过程在Z变换下，课由下列公式进行推导。由上面的公式可知，T(Z)可以转化为两个多项式X(Z)和X(-Z)的和，根据多项式原理；若想要T(Z)=N*X(Z)，则需要满足X(-Z)部分等于0，而X(Z)部分不等于0。也就是必须满足上诉等式，重构才能成立。这里第一个等式乘以2，只是为了计算方便，后面的Z的-L次方是常数在Z变换下的结果。逆变换