欧拉公式——从旋转和螺旋线的角度再看

一、复数的修仙之路

在引入欧拉公式之前，我们先思考这样一个问题：为什么会有复数呢？

在笔者的记忆里，复数好像是高中时候的天外来物，突然出现在了数学课本和试卷上，而复数的题目往往是高考试卷的简单题，但是到了大学接触到了一些诸如电磁场和信号与系统这些学科，复数的回旋镖正中眉心，之前老师也妹说复数这么有说法啊......

其实仔细想想早在初中的时候复数就已经犹抱琵琶半遮面了，我们在求解一元二次方程时候，需要通过（b^2-4ac）来判断方程有没有实数根。

在解二次方程时，孩子们有可能会遇到根号里面有一个负数的情况，但是老师说，不用管它我们就认定它无实数解即可，当时，好奇的同学就会问到：负数不能开方吗？

老师往往会说，只有正数和零才有平方根（其实很多教辅和教材都是这样给出了），没有哪个数字自己乘以自己会等于负数。

这个事情也许就不了了之了。

后来，意大利数学家、工程师拉斐尔·邦贝利（Bombelli，Rafael，1528~1572）在16世纪60年代提出有时候需要负数的平方根才能找到真正的解，不过他依然没有将如上题目所得结果中的内容看做一类数，而是称之为“新型方根”。

半个世纪后，笛卡尔似乎发现了，只要允许“不真的、想象的”、“无用的根”，（以上所说的其实就是虚根），那么n次方程会有n个根。

这时候，就有个伟大的法国裔英国籍的数学家亚伯拉罕·棣莫弗(Abraham De Moivre)站了出来，大手一挥给了一个公式：

[cosx+isinx]^n=cosnx+isinnx

这个著名的公式在数年后，由天才数学家欧拉用公式：

e^(ix)=(cos x+isin x)

将以上公式都进行了统一。

特别的还有：

e^(iπ)=-1

或：e^(iπ)+1=0

不过欧拉大量使用复数，可是并没有解决他们实际上是什么问题。也就是说复数是极其有用的虚构。

在19世纪