92、图信号处理基础与图滤波详解

图信号处理基础与图滤波详解

1. 图信号处理基础

在图信号处理中，我们常常会关注图拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值。对于连通无向图，拉普拉斯矩阵 $L$ 有一个独特的零特征值 $\lambda_0$，满足 $Lv_0 = \lambda_0v_0 = 0$。这是一个关于向量 $v_0$ 元素的齐次线性方程组，其解构成了 $L$ 的零空间。由于该零空间的维度等于 $\lambda_0 = 0$ 的几何重数，所以它是一维的。因此，只需要找到方程 (14.29) 的一个非平凡解，就可以得到可能的特征向量 $v_0$ 的基。

从 (14.8) 式可以看出：
[
[Lv_0] n = 0 \Rightarrow \sum {m | v_m\in N_n} A_{nm}(v_{0n} - v_{0m}) = 0
]
这表明任何常向量都是方程 (14.29) 的解。这就得出了一个令人满意的结论：与零特征值（频率）相关的特征向量是常数，这与经典信号处理理论中的情况一致。如果对特征向量进行归一化，那么 $v_0$ 的每个元素都等于 $1/\sqrt{N}$。

下面我们来看图 14.8，它通过第 14.1 节末尾描述的例子，直观地证实了基于拉普拉斯矩阵特征值的频率概念。一般来说，特征向量的平滑度随着频率（特征值）的升高而降低（见图 14.8e）。具体考虑这个例子中由图建模的网络，还可以进行额外的推断。大致来说，可以观察到该图有三个主要分支：一个在左侧，一个在顶部，一个在底部。

• 当我们将特征向量 $v_0$ 作为信号绘制在图 14.8a 中的图上时，所有顶点都被涂成相同的颜色，这验证了它的常数性。