73、自适应滤波器：原理、类型与应用

自适应滤波器：原理、类型与应用

1. 自适应滤波器基础

自适应滤波器在很多领域都有重要应用，其工作原理与输入信号和误差信号密切相关。如果输入存在二次谐波（$K_0 = 2$），需要在相关方程中添加两个方程，对应$\hat{H}(e^{2j\omega_0}) = H(e^{2j\omega_0})$，此时滤波器能够识别最多包含四个系数的系统。

自适应滤波器主要依据误差信号$d(n) - \hat{y}(n)$进行调整。若真实回声路径$H(z)$与估计回声路径$\hat{H}(z)$之间的失配无法通过误差信号观测到，滤波器就无法收敛到$H(z)$。这种可观测性取决于$H(z)$和输入信号，输入信号需激发足够多的频率，才能正确估计$H(z)$。因此，在系统识别中，白噪声是一种理想的输入信号，因为它包含所有频率。

2. 复变量与多通道滤波

在通信和雷达等重要应用中，自适应滤波器常使用复变量作为输入信号。下面将扩展相关结果，考虑复信号的情况。

2.1 一般解决方案

对于复信号，自适应滤波器可等效为一个具有两个输入和两个输出的滤波器。若所有输入变量为复数，误差$e(n) = d(n) - \hat{y}(n)$也为复数，即$e(n) = e_r(n) + je_i(n)$，其中$e_r(n)$和$e_i(n)$分别是$e(n)$的实部和虚部。此时需要最小化$E{|e(n)|^2} = E{e_r^2(n)} + E{e_i^2(n)}$，即复信号$e(n)$的总功率。二次成本函数变为：
$J(w) = E{|e(n)|^2} = E{e(n)e^ (n)} = E{e_r^2(n)} + E{e_i^2