64、信号处理中的框架构建与应用

信号处理中的框架构建与应用

1. 平移框架

数字信号处理很大程度上依赖于信号采样，即按规则间隔对函数进行采样，并从这些样本中重建信号的能力。从广义上讲，样本对应于对函数/信号进行评估/测量的结果值。采样操作通常可建模为函数/信号在预定义元素上的投影，规则采样则对应于将该元素平移到规则间隔的位置。

1.1 平移框架的定义

平移框架是通过对固定函数 (g(t))（(a > 0)）进行操作 ({T_{na}g(t)}_{n\in Z}) 得到的 (L^2(R)) 框架。

1.2 成为框架的条件

({T_{na}g(t)} {n\in Z}) 是具有边界 (A) 和 (B) 的框架，当且仅当：
[aA \leq \sum {k\in Z} \left|\hat{g}\left(f + \frac{k}{a}\right)\right| \leq aB]
对于 (f \in R - \left{f \in R : \sum_{k\in Z} \left|\hat{g}\left(f + \frac{k}{a}\right)\right| = 0\right})，其中 (\hat{g}(f) = \int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{j2\pi ft}dt) 是 (g(t)) 的傅里叶变换。

1.3 与香农采样定理的联系

以时间受限的带限函数 (x(t)) 为例，以 (1/T) 的速率使用脉冲序列进行采样。假设信号带宽为 (W)，如果 (T < \frac{1}{2W})，则可以使用以下公式重建信号：
[x(t) = \sum_{n}