63、信号处理中的框架：定义、计算与构造

信号处理中的框架：定义、计算与构造

在信号处理领域，框架是一种强大的工具，它能够帮助我们更好地分析和处理信号。本文将详细介绍框架的相关定义、计算方法以及如何从原型信号构造框架。

1. 相关定义

1.1 量化系数与信号重建

假设噪声 $w_k \in \ell^2(N)$（即噪声有界），我们可以使用算子 $Q$ 对 $\left{\langle x,S^{-1} {g_k}\rangle + w_k\right} {k\in K}$ 进行投影：
$Q{c_k} = \left{\sum {k} c_k\langle S^{-1} {g_k},g_j\rangle\right}_{j\in K}$

将 $Q$ 应用于投影 - 量化框架系数场景，可得：
$Q\left{\langle x,S^{-1} {g_k}\rangle + w_k\right} {k\in K} = {c_k} {k\in K} + Q{w_k}_{k\in K}$

通过上述操作，信号可以通过以下方式重建：
$\hat{x} = \sum_{k\in K} (c_k + Q{w_k})g_k = x + \sum_{k\in K} Q{w}_k g_k$

若框架 ${g_k}_{k\in K}$ 是归一化的，且量化噪声为白噪声且均值为零，有：
$E\left[|Q{w}|^2\right] \leq \frac{1}{A}E\left[|w|^2\right]$

这意味着，当使用处理后的系数重建信号时，如果 $A$（下框架界）大于 1，则所得量化