62、信号处理中的框架：原理、特性与应用

信号处理中的框架：原理、特性与应用

1. 引言

框架（Frames）由Duffin和Schaeffer于1952年为研究非调和傅里叶级数而引入。其核心思想是通过信号在一系列元素 ${e^{j2\pi\lambda_nt}} {n\in\mathbb{Z}}$ 上的投影来表示信号，这里不要求 $\lambda_n$ 是基频 $F$ 的整数倍，不像传统的调和傅里叶级数那样。这种无限制的表示方式使得集合 ${e^{j2\pi\lambda_nt}} {n\in\mathbb{Z}}$ 往往具有高度的冗余性，即过完备性。例如，在空间 $L^2(-T,T)$ 中，该集合中的元素或函数数量可能比 $L^2(-T,T)$ 的一组基还要多，像调和傅里叶级数就是这样一组基。

过完备性虽然会给函数 $f(t)\in L^2(-T,T)$ 的表示带来困难，因为无法简单地通过将 $f(t)$ 投影到 ${e^{j2\pi\lambda_nt}} {n\in\mathbb{Z}}$ 的每个元素上来计算式 $f(t)=\sum {n}c_ne^{j2\pi\lambda_nt}$ 中的系数 $c_n$ （在使用正交基表示信号时，计算内积是求 $c_n$ 的标准方法），但它也带来了一些优势。与使用基相比，框架可以得到更紧凑、鲁棒或稳定的信号表示。这也是自20世纪90年代以来，框架在数学、统计学、计算机科学和工程领域得到广泛研究和应用的原因之一。

框架定义背后的基本思想是使用比必要数量更多的系数来表示给定空间中的信号，这正是过完备性的本质。现代模拟 - 数字转换器（ADC）以高于奈奎斯特速率的低分辨率对信号进行采样就运用了这一思想。当信号采样率远高于奈奎斯特速率时，对采样精度