29、数字滤波器频率响应掩蔽技术解析

数字滤波器频率响应掩蔽技术解析

1. 频率响应掩蔽（FRM）滤波器概述

在数字滤波器设计中，尖锐滤波器往往因高滤波器阶数而面临高计算复杂度的问题。为解决这一难题，频率响应掩蔽（FRM）滤波器结构应运而生。FRM 滤波器通过使用掩蔽滤波器来获得所需的频率响应，其整体结构是一个由三个子滤波器组成的子滤波器网络。

这三个子滤波器分别为：
- 原型带边缘整形滤波器（简称原型滤波器），其 z 变换传递函数为 F(z)。
- 两个掩蔽滤波器，z 变换传递函数分别为 G1(z) 和 G2(z)。

它们对应的频率响应分别表示为 F(e^jωT)、G1(e^jωT) 和 G2(e^jωT)。此外，还通过延迟互补对应项实现了第四个滤波器功能。

在 FRM 结构中，原型带边缘整形滤波器 F(z) 的每个延迟都被 L 个延迟所替代。这样得到的滤波器 F(z^L) 的频率响应是 F(z) 经过频率压缩（压缩因子为 L）后的周期性版本。因此，L 被称为 FRM 滤波器的压缩因子。

由于延迟元素的替换，F(z) 的过渡带被映射为 L 个过渡带，且过渡宽度缩小为原来的 1/L。F(z^L) 的互补滤波器可通过从纯延迟项 z^(-LNF / 2) 中减去 F(z^L) 得到，为避免半延迟，NF 需选择为偶数。这样，从直流到奈奎斯特频率的整个频率区域被分解为 L 个频段，F(z^L) 及其互补滤波器分别占据交替的频段。

两个掩蔽滤波器 G1(z) 和 G2(z) 用于对 F(z^L) 及其互补滤波器的输出进行滤波（即掩蔽），保留所需的频段，然后将它们组合以获得最终的频率响应。FRM 结构的整体 z 变换传递函数 H(z) 由下式给出：