17、随机过程与随机序列的深入剖析

随机过程与随机序列的深入剖析

1. 随机过程的基本概念

随机过程是随机变量的直接扩展。若随机实验的结果 (s) 随时间 (t) 变化，可通过 (X(s(t))) 将其映射为实函数 (x(t))，这些时间变化的样本函数或实现 (x(t)) 的集合构成了随机过程 (X(t))。对于固定的 (t_0)，(X(t_0)) 退化为单个随机变量，所以随机过程可看作按时间排序的多个随机变量。

例如，同时观测全球各点的空气湿度 (H(t))，每个实现 (h(t)) 描述了地球上随机选取地点的湿度随时间的变化，而随机变量 (H(t_0)) 描述了时刻 (t_0) 地球表面的空气湿度分布。在离散时间 (n) 域中，类似的构造会产生由实现 (x[n]) 组成的 (X[n])。

随机过程可分为连续时间和离散时间随机过程，根据随机变量的连续或离散分类，又有连续值和离散值随机过程之分。为避免分类组合的歧义或冗长，连续时间情况使用“随机过程”，离散时间情况使用“随机序列”，“连续”和“离散”仅用于描述幅度值。

2. 随机过程和序列的分布

完整描述随机过程或序列需要涵盖所有可能时刻的联合累积分布函数（CDF）或概率密度函数（PDF），这显然不切实际。但使用 (L) 阶分布（采用稍作修改的符号以包含时间参考）进行部分表示是有用的。

2.1 随机过程的 CDF 和 PDF

随机过程 (X(t)) 的 CDF 定义为：
[F_X(x_1,x_2,\cdots,x_L;t_1,t_2,\cdots,t_L) = P({X(t_1) \leq x_1,X(t_2) \leq x_2 \cdots,X(t_L) \leq x_