【BZOJ 4347】[POI2016]Nim z utrudnieniem

最新推荐文章于 2021-03-03 15:41:02 发布

原创最新推荐文章于 2021-03-03 15:41:02 发布 · 388 阅读

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#博弈 #动态规划

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本文介绍了一种通过优化动态规划(DP)方法解决特定异或和问题的技巧。该问题要求选取若干堆使剩余堆的异或和为0。文章首先介绍了朴素的DP方法及其时间复杂度，随后提出了通过排序和位操作来减少时间复杂度的方法，并通过调整DP的状态设计和顺序进一步优化空间复杂度。

今天第一次写blog那就从现在做的第一题开始写吧。。

问题可以转化成取走若干堆使得剩下堆异或和为0。朴素的做法是用 $f[i][j][k]$ 大概表示前 $i$ 堆，已经取的堆数 $\%d==j$ ，取走的异或和为 $k$ 的方案数，暴力转移时间复杂度 $O(n*d*\max{a_i})$ 。

首先优化时间，由于 $\sum{a_i}\leq10^7$ ，可以考虑将 $a_i$ 从小到大排序，对于每个 $i$ 将 $a_i$ 二进制的每一位都置1作为 $k$ 的上界，这个上界显然 $\leq 2*a_i$ ，这样时间复杂度就降低到 $O(d*\sum{a_i})$ 。

接下来优化空间，滚动数组无法完全解决空间问题， $j,k$ 这两维难以缩小，考虑将 $i$ 缩小到一维。如果要取走第 $i$ 堆的话， $k$ 只能转移到 $k$ ^ $a_i$ ， $k$ ^ $a_i$ 也只能转移到 $k$ ，如果不取第 $i$ 堆的话，不需要转移。可以通过尝试调整一下 $DP$ 的顺序和状态的设计。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=500005;
const int MOD=1000000007;
int n,d,A,p,a[N],f[11][1<<20];
inline void add(int&x,int y){x=x+y<MOD?x+y:x+y-MOD;}
inline void read(int&x){char c;while((c=getchar())<'0'||c>'9');x=c-'0';while((c=getchar())>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0';}
int main(){
    int i,j,k;
    scanf("%d%d",&n,&d);
    for(i=1;i<=n;++i)read(a[i]),A^=a[i];
    sort(a+1,a+1+n);
    f[0][0]=1;
    for(p=i=1;i<=n;++i){
        for(;p<=a[i];p<<=1);
        for(k=p-1;~k;--k)f[d][k]=0;
        for(j=d-1;~j;--j)for(k=p-1;~k;--k)add(f[j+1][k^a[i]],f[j][k]);
        for(k=p-1;~k;--k)add(f[0][k],f[d][k]); 
    }
    int ans=f[0][A];
    if(n%d==0)ans=(ans-1+MOD)%MOD; 
    printf("%d",ans);
    return 0;
}