数据结构之图(一)——图的相关概念和术语

• 数据的逻辑结构：

  • 集合：数据元素间除“同属于一个集合外”，无其它关系。
    
  • 线性结构：一对一，如线性表，栈，队列。
    
  • 树形结构：一对多，如树。
    
  • 图形结构：多对多，如图。
    

• 图： G=(V,E)。其中V代表顶点(数据元素)的有穷非空集合；E代表边的有穷集合。

  • 无向图：每条边都是无方向的。
    
  • 有向图：每条边都是有方向的。
    

• 完全图： 任意两个点都有一条边相连。
  
  n个顶点，无向完全图有$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$条边，有向完全图有$2C_n^2=2\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$条边。

• 稀疏图：有很少边或弧的图($e<n\log n$)。

• 稠密图：有较多边或弧的图。

• 网：边或弧带权的图。

• 邻接：有边/弧相连的两个顶点之间的关系。
  存在$(v_i,v_j)$，则称$v_i$和$v_j$互为邻接点。
  存在$<v_i,v_j>$，则称$v_i$邻接到$v_j$，$v_j$邻接于$v_i$。

• 关联(依附)：边/弧与顶点之间的关系。
  存在$(v_i,v_j)/<v_i,v_j>$，则称改边/弧关联于$v_i$和$v_j$。

• 顶点的度：与该顶点相关联的边的数目，记为TD(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。

  • 顶点v的入度：以v为终点的有向边的条数，记作ID(v)。
  • 顶点v的出度：以v为始点的有向边的条数，记作OD(v)。
    

• 当有向图中仅有1个点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则这是一棵有向树。

• 路径：接续的边构成的顶点序列。

• 路径长度：路径上边或弧的数目/权值之和。

• 回路(环)：第一个顶点和最后一个顶点相同的一条路径。

• 简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点军部相同的路径。

• 连通图(强连通图)：在无(有)向图G=(v,{E})中，若对任何两个顶点v、u都存在从v到u的路径，则称G是连通图(强连通图)。

• 权与网：图中边或弧所具有的相关数称为权。表明从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。带权的图称为网。

• 子图：设有两个图G=(V,{E})、G1=(V1,{E1})，若$V1\subseteq V,E1\subseteq E$，则称G1是G的子图。

• 连通分量(强连通分量)

  • 无向图G的极大连通子图称为G的连通分量。
    极大连通子图：该子图是G的连通子图，将G中的任何不在该子图中的顶点加入，子图不再连通。
  • 有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分量。
    极大强连通子图：该子图是G的强连通子图，将G中的任何不在该子图中的顶点加入，子图不再强连通。

• 极小连通分量：该子图是G的连通子图，在该子图中删除任何一条边，该子图不再连通。

• 生成树：包含无向图G的所有顶点的极小连通子图。

• 生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树的集合。
  

• 图的抽象类型定义：
  ADT Graph
  {
       数据对象V： 具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。
       数据关系R：R={VR}VR={&lt;v,w&gt;∣&lt;w,v&gt;∣v,w∈V,p(v,w),&lt;v,w&gt;表示从v到w的弧，p(v,w)定义了弧&lt;v,w&gt;的信息}R=\{VR\}\\VR=\{&lt;v,w&gt;|&lt;w,v&gt;|v,w\in V,p(v,w) ,&lt;v,w&gt;表示从v到w的弧，p(v,w)定义了弧&lt;v,w&gt;的信息\}R={VR}VR={<v,w>∣<w,v>∣v,w∈V,p(v,w),<v,w>表示从v到w的弧，p(v,w)定义了弧<v,w>的信息}
       基本操作P： 有图的创建，求顶点v的值等操作。
  }ADT Graph