OpenGL: 平面阴影投射矩阵的推导

OpenGL超级宝典(第五版）如下：

      在该书的第1章的Block例子中用到了平面阴影投射矩阵， 将模型视图矩阵压平, 所有被绘制的物体都将位于这个平面的二维世界中。不过这本书没有介绍该平面阴影投射矩阵是如何推导的。平面阴影投射矩阵可用于实现物体在光线下产生影子的效果，距离可参见：详解平面阴影 Planar Shadow （综合篇），这篇文章有很多影子的示例。
      假设平面方程 Ax + By + Cz + D = 0 已知, 光的方向L(Lx, Ly, Lz, 0)已知. 则模型视图空间的点 P(Px, Py, Pz, 1), 沿着光的方向投射到平面上的点为 S(Sx, Sy, Sz, 1). 其中我们设置向量 N(A, B, C, D). 现在我们需要求的是矩阵M, 使得 MP = S. 即 M左乘点P得到点S。由于点S是P沿着光的方向L到达的, 所以S、P、L之间满足线性关系，故可假设 S = P + KL (K >= 0)。

       因为点S是平面上的一点, 所以 A*Sx + B*Sy + C*Sz + D = 0. 即 S . N = 0。即S和N的点乘为0(说明：这里的 .  点号表示点乘，而不是数值相乘，数值相乘用星号*表示,下同)。

 由于 S = P + KL, 所以 (P + KL) . N = 0, 推导可得出 K = -(P . N) / L . N,即 K = -(A*Px + B*Py + C*Pz + D) / (A*Lx + B*Ly + C*Lz), 代入 S = P + KL，得：

Sx = Px + K*Lx = Px - (A*Px + B*Py + C*Pz + D)*Lx / (A*Lx + B*Ly + C*Lz) 
= [ Px*(B*Ly + C*Lz) - Py*(B*Lx) - Pz*(C*Lx) - 1*D*Lx ] / (A*Lx + B*Ly + C*Lz) 

把上述的Px、Py、Pz提取出来，用齐次坐标表示向量P，且用点乘来表示要简洁些，表示如下：
= P . ((B*Ly + C*Lz), -B*Lx, -C*Lx, -D*Lx)/(A*Lx + B*Ly + C*Lz) 

同理 
Sy = P .  (-A*Ly, (A*Lx + C*Lz), -C*Ly, -D*Ly)/(A*Lx + B*Ly + C*Lz) 
Sz = P .  (-A*Lz, -B*Lz, (A*LX + B*Ly), -D*Lx)/(A*Lx + B*Ly + C*Lz) 
Sw = P . (0, 0, 0, (A*Lx + B*Ly + C*Lz))/(A*Lx + B*Ly + C*Lz) 

注意：P前面是点乘符号，P为[Px, Py, Pz, 1]。
所以可得到矩阵M：

B*Ly + C*Lz	-B*Lx	-C*Lx	-D*Lx
-A*Ly	A*Lx + C*Lz	-C*Ly	-D*Ly
-A*Lz	-B*Lz	A*LX + B*Ly	-D*Lx
0	0	0	A*Lx + B*Ly + C*Lz

在OpenGL超级宝典(第五版）这本书的源代码里有该矩阵的实现代码, 位于文件 math3d.cpp 中, 可参考上面公式的实现 

// Creae a projection to "squish" an object into the plane.
// Use m3dGetPlaneEquationf(planeEq, point1, point2, point3);
// to get a plane equation.
void m3dMakePlanarShadowMatrix(M3DMatrix44f proj, const M3DVector4f planeEq, const M3DVector3f vLightPos)
	{
	// These just make the code below easier to read. They will be 
	// removed by the optimizer.	
	float a = planeEq[0];
	float b = planeEq[1];
	float c = planeEq[2];
	float d = planeEq[3];

	float dx = -vLightPos[0];
	float dy = -vLightPos[1];
	float dz = -vLightPos[2];

	// Now build the projection matrix
	proj[0] = b * dy + c * dz;
	proj[1] = -a * dy;
	proj[2] = -a * dz;
	proj[3] = 0.0;

	proj[4] = -b * dx;
	proj[5] = a * dx + c * dz;
	proj[6] = -b * dz;
	proj[7] = 0.0;

	proj[8] = -c * dx;
	proj[9] = -c * dy;
	proj[10] = a * dx + b * dy;
	proj[11] = 0.0;

	proj[12] = -d * dx;
	proj[13] = -d * dy;
	proj[14] = -d * dz;
	proj[15] = a * dx + b * dy + c * dz;
	// Shadow matrix ready
	}

 本文转自：OpenGL: 平面阴影投射矩阵的推导_Augusdi的博客-优快云博客