OpenGL超级宝典(第五版)如下:
在该书的第1章的Block例子中用到了平面阴影投射矩阵, 将模型视图矩阵压平, 所有被绘制的物体都将位于这个平面的二维世界中。不过这本书没有介绍该平面阴影投射矩阵是如何推导的。平面阴影投射矩阵可用于实现物体在光线下产生影子的效果,距离可参见:详解平面阴影 Planar Shadow (综合篇),这篇文章有很多影子的示例。
假设平面方程 Ax + By + Cz + D = 0 已知, 光的方向L(Lx, Ly, Lz, 0)已知. 则模型视图空间的点 P(Px, Py, Pz, 1), 沿着光的方向投射到平面上的点为 S(Sx, Sy, Sz, 1). 其中我们设置向量 N(A, B, C, D). 现在我们需要求的是矩阵M, 使得 MP = S. 即 M左乘点P得到点S。由于点S是P沿着光的方向L到达的, 所以S、P、L之间满足线性关系,故可假设 S = P + KL (K >= 0)。
因为点S是平面上的一点, 所以 A*Sx + B*Sy + C*Sz + D = 0. 即 S . N = 0。即S和N的点乘为0(说明:这里的 . 点号表示点乘,而不是数值相乘,数值相乘用星号*表示,下同)。
由于 S = P + KL, 所以 (P + KL) . N = 0, 推导可得出 K = -(P . N) / L . N,即 K = -(A*Px + B*Py + C*Pz + D) / (A*Lx + B*Ly + C*Lz), 代入 S = P + KL,得:
Sx = Px + K*Lx = Px - (A*Px + B*Py + C*Pz + D)*Lx / (A*Lx + B*Ly + C*Lz)
= [ Px*(B*Ly + C*Lz) - Py*(B*Lx) - Pz*(C*Lx) - 1*D*Lx ] / (A*Lx + B*Ly + C*Lz)
把上述的Px、Py、Pz提取出来,用齐次坐标表示向量P,且用点乘来表示要简洁些,表示如下:
= P . ((B*Ly + C*Lz), -B*Lx, -C*Lx, -D*Lx)/(A*Lx + B*Ly + C*Lz)
同理
Sy = P . (-A*Ly, (A*Lx + C*Lz), -C*Ly, -D*Ly)/(A*Lx + B*Ly + C*Lz)
Sz = P . (-A*Lz, -B*Lz, (A*LX + B*Ly), -D*Lx)/(A*Lx + B*Ly + C*Lz)
Sw = P . (0, 0, 0, (A*Lx + B*Ly + C*Lz))/(A*Lx + B*Ly + C*Lz)
注意:P前面是点乘符号,P为[Px, Py, Pz, 1]。
所以可得到矩阵M:
B*Ly + C*Lz | -B*Lx | -C*Lx | -D*Lx |
-A*Ly | A*Lx + C*Lz | -C*Ly | -D*Ly |
-A*Lz | -B*Lz | A*LX + B*Ly | -D*Lx |
0 | 0 | 0 | A*Lx + B*Ly + C*Lz |
在OpenGL超级宝典(第五版)这本书的源代码里有该矩阵的实现代码, 位于文件 math3d.cpp 中, 可参考上面公式的实现
// Creae a projection to "squish" an object into the plane.
// Use m3dGetPlaneEquationf(planeEq, point1, point2, point3);
// to get a plane equation.
void m3dMakePlanarShadowMatrix(M3DMatrix44f proj, const M3DVector4f planeEq, const M3DVector3f vLightPos)
{
// These just make the code below easier to read. They will be
// removed by the optimizer.
float a = planeEq[0];
float b = planeEq[1];
float c = planeEq[2];
float d = planeEq[3];
float dx = -vLightPos[0];
float dy = -vLightPos[1];
float dz = -vLightPos[2];
// Now build the projection matrix
proj[0] = b * dy + c * dz;
proj[1] = -a * dy;
proj[2] = -a * dz;
proj[3] = 0.0;
proj[4] = -b * dx;
proj[5] = a * dx + c * dz;
proj[6] = -b * dz;
proj[7] = 0.0;
proj[8] = -c * dx;
proj[9] = -c * dy;
proj[10] = a * dx + b * dy;
proj[11] = 0.0;
proj[12] = -d * dx;
proj[13] = -d * dy;
proj[14] = -d * dz;
proj[15] = a * dx + b * dy + c * dz;
// Shadow matrix ready
}