算法导论二-渐进符号

一，渐近紧确界 θ 。

• 数学定义：设 f(n) 和 g(n) 是定义域为自然数集合的函数。如果n→∞ 时，lim f(n) / g(n)
  存在，并且等于某个常数c ( c >0 ), 那么 f(n) = θ(g(n))。
• 通俗理解为 f(n) 和 g(n) 和 g(n) 同阶，θ用来表示算法的精确阶。
• f(n) = Θ(g(n))，表示f(n)的复杂度既大于等于g(n)的复杂度，又小于等于g(n)的复杂度，即于g(n)的复杂度相当
• 如 5n +100 = θ(n)

二， 渐近上界 O

• 数学定义： 设 f(n) 和 g(n) 是定义域为自然数集N 上的函数。若存在正数c和n0 ，使得对一切n≥n0 . 都有 0≤f(n)≤cg(n) 成立. 则称f(n) 的渐进的上界是g(n) .
• 通俗的说n满足一定条件范围内，函数 f(n) 的阶不高于函数 g(n) 。
• f(n) = O(g(n))，表示f(n)的复杂度最多与g(n)一个数量级，即小于等于

三, 渐进下界 Ω

• 数学定义：设f(n)和g(n) 是定义域为自然数集N 上的函数。若存在正数c和n0 ，使得对一切n≥n0 ， 都有0≤cg(n)≤f(n) 成立，则称f(n) 的 渐进的下界是g(n)，记作f(n)=Ω(g(n)) 。
• 通俗的说n满足一定条件范围内，函数f(n)的阶不低于函数g(n)
• f(n) = Ω(g(n))，f(n)的复杂度最少与g(n)一个数量级，即大于等于。
• 根据符号Ω 的定义，用它评估算法的复杂度得到的只是问题规模充分大时的一个下界。这个下界的阶越高，评估越精确，越有价值。
• 例如1：设f(n)=n2+n ， f(n)=Ω(n ² )，取 c=1，n0=1即可. f(n) = Ω(100n), 取c=1/100,n0=1 即可.

四,非渐近紧确上界 o

• 数学定义： 设f(n)和g(n)是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数c，都存在n0>0，使得对一切n>=n0,都有0<=f(n)<cg(n)
• f(n) = o(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级小，即小于
• 例如: f(n)=n² +n，则f(n)=o(n³)

五, 非渐近紧确下界 ω

• 数学定义: 设f(n)和g(n)是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数c，都存在n0，使得对一切n>=n0，都有0=<cg(n)<f(n)
• f(n) = ω(g(n))，表示f(n)的复杂度要比g(n)的数量级大，即大于

六，简易图

• θ和O和Ω
  
• 关系图
  
  笔记参考：https://blog.youkuaiyun.com/so_geili/article/details/53353593