最长上升子序列nlogn算法

 

 

这题目是经典的DP题目，也可叫作LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列 或者 最长不下降子序列。很基础的题目，有两种算法，复杂度分别为O(n*logn)和O(n^2) 。

A.
O(n^2)算法分析如下：

（a[1]...a[n] 存的都是输入的数）
1、对于a[n]来说，由于它是最后一个数，所以当从a[n]开始查找时，只存在长度为1的不下降子序列；

 

2、若从a[n-1]开始查找，则存在下面的两种可能性：
   （1）若a[n-1] < a[n] 则存在长度为2的不下降子序列 a[n-1],a[n];
   （2）若a[n-1] > a[n] 则存在长度为1的不下降子序列 a[n-1]或者a[n]。

 

3、一般若从a[t]开始，此时最长不下降子序列应该是按下列方法求出的：
    在a[t+1],a[t+2],...a[n]中，找出一个比a[t]大的且最长的不下降子序列，作为它的后继。

 

4、为算法上的需要，定义一个数组：
    int d[n][3];
    d[t][0]表示a[t];
    d[t][1]表示从i位置到达n的最长不下降子序列的长度;
    d[t][2]表示从i位置开始最长不下降子序列的下一个位置。

 

实现代码如下：
     #include <iostream> using namespace std; int main(void) { int i,j,n,a[100],b[100],max; while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; b[0]=1; //初始化，以a[0]结尾的最长递增子序列长度为1 for(i=1;i<n;i++) { b[i]=1; //b[i]最小值为1 for(j=0;j<i;j++) if(a[i]>a[j]&&b[j]+1>b[i]) b[i]=b[j]+1; } for(max=i=0;i<n;i++)//求出整个数列的最长递增子序列的长度 if(b[i]>max) max=b[i]; cout<<max<<endl; } return 0; }
    显然，这种方法的时间复杂度仍为o(n^2);

B.

最长不下降子序列的O(nlogn)算法分析如下:

设 A[t]表示序列中的第t个数，F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。

现在，我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足
(1)x < y < t
(2)A[x] < A[y] < A[t]
(3)F[x] = F[y]

 

此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？

 

很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。
再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。

注意到D[]的两个特点：
(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不下降的。
(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

利 用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len]，则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[t]。令k = j + 1，则有A [t] <= D[k]，将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即为所要求的最长上 升子序列的长度。

在 上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的 时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

  #include <iostream> using namespace std; int find(int *a,int len,int n)//若返回值为x,则a[x]>=n>a[x-1] { int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; while(left<=right) { if(n>a[mid]) left=mid+1; else if(n<a[mid]) right=mid-1; else return mid; mid=(left+right)/2; } return left; } void fill(int *a,int n) { for(int i=0;i<=n;i++) a[i]=1000; } int main(void) { int max,i,j,n,a[100],b[100],c[100]; while(cin>>n) { fill(c,n+1); for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; c[0]=-1;// …………………………………1 c[1]=a[0];// …………………………2 b[0]=1;// …………………………………3 for(i=1;i<n;i++)// ………………4 { j=find(c,n+1,a[i]);// …………………5 c[j]=a[i];// ………………………………6 b[i]=j;//……………………………………7 } for(max=i=0;i<n;i++)// ………………………8 if(b[i]>max) max=b[i]; cout<<max<<endl; } return 0; }   

   

 

    对于这段程序，我们可以用算法导论上的loop invariants来帮助理解.
    loop invariant : 1、每次循环结束后c都是单调递增的。(这一性质决定了可以用二分查找）
                        2、每次循环后，c[i]总是保存长度为i的递增子序列的最末的元素，若长度为i的递增子序

                            列有多个，刚保存末尾元素最小的那个.（这一性质决定是第3条性质成立的前提）
                        3、每次循环完后，b[i]总是保存以a[i]结尾的最长递增子序列。
    initialization:     1、进入循环之前，c[0]=-1,c[1]=a[0],c的其他元素均为1000,c是单调递增的;
                        2、进入循环之前，c[1]=a[0],保存了长度为1时的递增序列的最末的元素，且此时长度为1

                            的递增了序列只有一个，c[1]也是最小的;
                        3、进入循环之前，b[0]=1，此时以a[0]结尾的最长递增子序列的长度为1.
    maintenance:    1、若在第n次循环之前c是单调递增的，则第n次循环时，c的值只在第6行发生变化，而由

                             c进入循环前单调递增及find函数的性质可知（见find的注释),

                             此时c[j+1]>c[j]>=a[i]>c[j-1],所以把c[j]的值更新为a[i]后，c[j+1]>c[j]> c[j-1]的性质仍然成

                             立，即c仍然是单调递增的；
                         2、循环中，c的值只在第6行发生变化，由c[j]>=a[i]可知，c[j]更新为a[i]后，c[j]的值只会变

                             小不会变大，因为进入循环前c[j]的值是最小的，则循环中把c[j]更新为更小的a[i]，当

                             然此时c[j]的值仍是最小的;
                         3、循环中，b[i]的值在第7行发生了变化，因为有loop invariant的性质2，find函数返回值

                             为j有：c[j-1]<a[i]<=c[j],这说明c[j-1]是小于a[i]的，且以c[j-1]结尾的递增子序列有最大的

                             长度，即为j-1,把a[i]接在c[j-1]后可得到以a[i]结尾的最长递增子序列，长度为(j-1)+1=j;
    termination:        循环完后，i=n-1,b[0],b[1],...,b[n-1]的值均已求出，即以a[0],a[1],...,a[n-1]结尾的最长递

                           增子序列的长度均已求出，再通过第8行的循环，即求出了整个数组的最长递增子序列。

         

 

仔细分析上面的代码可以发现，每次循环结束后，假设已经求出c[1],c[2],c[3],...,c[len]的值，则此时最长递增子序列的长度为 len,因此可以把上面的代码更加简化，即可以不需要数组b来辅助存储，第8行的循环也可以省略。
    #include <iostream> using namespace std; int find(int *a,int len,int n)//修改后的二分查找，若返回值为x，则a[x]>=n { int left=0,right=len,mid=(left+right)/2; while(left<=right) { if(n>a[mid]) left=mid+1; else if(n<a[mid]) right=mid-1; else return mid; mid=(left+right)/2; } return left; } int main(void) { int n,a[100],c[100],i,j,len;//新开一变量len,用来储存每次循环结束后c中已经求出值的元素的最大下标 while(cin>>n) { for(i=0;i<n;i++) cin>>a[i]; b[0]=1; c[0]=-1; c[1]=a[0]; len=1;//此时只有c[1]求出来，最长递增子序列的长度为1. for(i=1;i<n;i++) { j=find(c,len,a[i]); c[j]=a[i]; if(j>len)//要更新len,另外补充一点：由二分查找可知j只可能比len大1 len=j;//更新len } cout<<len<<endl; } return 0; }