「动态规划::线性DP」股票问题合集 / LeetCode 121|122|123|188 （C++）

目录

概述

Question1

思路

算法过程

Code

复杂度

Question2

思路

解题过程

Code

复杂度

Question3

思路

解题过程

Code

复杂度

Question4

思路

解题过程

Code

复杂度

总结

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概述

我们已经了解过了线性DP：

「动态规划」线性DP：最长上升子序列（LIS）|编辑距离 / LeetCode 300|72（C++）

更进一步，我们来解决非常经典的线性DP问题系列：买卖股票。

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Question1

LeetCode 121：

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

示例 1：

输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。

思路

我们来找到规模更小的子问题。

对于本题来说，什么是规模更小的子问题？

先来考虑有几个状态：现在第几天，手里有没有股票，是否交易过。

定义dp[i][j][k]，表示：

第i天，j为0代表未交易，j为1代表完成交易过（即发生了买入与卖出），k为0代表手中无股票，k为1表示手中有股票，此时所能拥有的最大利润。

初始条件：dp[0][0][0] = 0, dp[0][0][1] = -prices[0];

算法过程

每个子问题都要被求解，前提是比它小的问题被求解了，而不论大小规模，这些问题的求解过程是一样的。

对于dp[i][0][0]与dp[i][1][1]没有意义，因为dp[i][0][0]恒为0；而题意只能进行一次交易，故dp[i][1][1]无意义。

对于已完成交易且手中无票，这个状态来自前一天的相同状态或前一天为未完成交易且手中有票。

对于未完成交易且手中有票，这个状态来自前一天的相同状态或前一天为未完成交易且手中无票。

所以应该是这样的：

dp[i][1][0] = max(dp[i - 1][1][0], dp[i - 1][0][1] + prices[i]);
dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);

Code

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        const int n = prices.size();
        vector<array<array<int, 2>, 2>> dp(n);
        dp[0][0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; i++){
            dp[i][1][0] = max(dp[i - 1][1][0], dp[i - 1][0][1] + prices[i]);
            dp[i][0][1] = max(dp[i - 1][0][1], dp[i - 1][0][0] - prices[i]);
        }
        return max(0, dp[n - 1][1][0]);
    }
};

复杂度</