爬楼梯

本文探讨了经典的爬楼梯问题,给出了一个递推算法来计算爬到特定楼层的方法总数。通过对样例输入5级楼梯的解析,展示了算法的实现过程,并提供了一段C语言代码作为解决方案。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

假设你现在正在爬楼梯,楼梯有 nnn 级。每次你只能爬 111 级或者 222 级,那么你有多少种方法爬到楼梯的顶部?

输入格式

第一行输入一个整数 n(1≤n≤50)n(1\leq n \leq 50)n(1≤n≤50),代表楼梯的级数。

输出格式

输出爬到楼梯顶部的方法总数。

样例输入

5

样例输出

8

AC代码:

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n,a,b,c,i;
    scanf("%d",&n);
    if(n==1||n==2)
    printf("%d\n",n);
    else
    {
        a=1;b=2;c=0;
        for(i=2;i<n;i++)
        {
            c=a+b;
            a=b;
            b=c;
        }
        printf("%d\n",c);
    }
    return 0;
 }

 

### 动态规划实现爬楼梯问题 爬楼梯问题的核心思想是动态规划,其本质与斐波那契列密切相关。对于给定的 `n` 阶台阶,每次可以爬 1 阶或 2 阶,最终到达楼顶的不同方法等于前一步骤的解之和。 #### 方法一:使用组存储中间结果 此方法通过组来保存每一步的结果,时间复杂度为 $O(n)$,空间复杂度也为 $O(n)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int[] dp = new int[n + 1]; dp[1] = 1; // 爬到第1阶有1种方法 dp[2] = 2; // 爬到第2阶有2种方法 for (int i = 3; i <= n; i++) { dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; // 当前阶的方法等于前两阶之和 } return dp[n]; } } ``` #### 方法二:优化空间复杂度 为了减少空间占用,可以仅使用两个变量记录前两步的结果,从而将空间复杂度优化至 $O(1)$。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; int prev = 1, curr = 2; for (int i = 3; i <= n; i++) { int temp = curr; curr = prev + curr; // 计算当前阶的方法 prev = temp; // 更新前一个值 } return curr; } } ``` #### 方法三:公式法(基于斐波那契列) 利用斐波那契列的通项公式,直接计算出结果,时间复杂度为 $O(1)$,但需要注意精度问题。 ```java class Solution { public int climbStairs(int n) { double sqrt5 = Math.sqrt(5); double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1); // 使用斐波那契公式 return (int) ((fibN - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1)) / sqrt5); } } ``` 以上代码实现了不同的解决方案,包括动态规划、空间优化以及学公式法[^2]。 --- ### 相关问题
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