HDU6050 Funny Function

最新推荐文章于 2017-08-21 20:50:07 发布

dDarkdawn

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分类专栏：多校赛文章标签：矩阵快速幂函数

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题意

已知 $F_{1,1}=F_{1,2}=1$

$F_{1,i} = F_{1,i-1} + 2F_{1,i-2}$

$F_{i,j} = \sum_{k=j}^{j+N-1}F_{i-1,k}$

给出N,M，求 $F_{M,1}$

分析

看了官方题解才搞定的T_T，真是太菜了。

可以通过归纳法发现 $F_{i,j} = F_{i,j-1}+2F_{i,j-2}(j \geq 3)$ (最重要的推论=-=)

拆解合并可以发现 $\sum_{k=1}^jF_{i,k} = F_{i,j+1}-F_{i,1}$ (j为偶数)， $\sum_{k=1}^jF_{i,k} = F_{i,j+1}-F_{i,2}+F_{i,1}$ (j为奇数)。同时 $F_{i,k} = a_{i,k}F_{i,2}+b_{i,k}F_{i,1}$

再然后就是题解中写到的，

N为偶数时: $(F_{i,1},F_{i,2})=(F_{i-1,n+1}-F_{i-1,1},F_{i-1,n+2}-F_{i-1,2})$

$=(F_{i-1,n+1},F_{i-1,n+2})+(-F_{i-1,1},-F_{i-1,2})$

$=(F_{i-1,1},F_{i-1,2})A^n+(F_{i-1,1},F_{i-1,2})B_1$

$=(F_{i-1,1},F_{i-1,2})(A^n+B_1)$

$(F_{m,1},F_{m,2})=(F_{i-1,1},F_{i-1,2})(A^n+B_1)^{m-1}$

N为奇数时: $(F_{i,1},F_{i,2})=(F_{i-1,n+1}-F_{i-1,2}+F_{i-1,1},F_{i-1,n+2}-2F_{i-1,1})$

$=(F_{i-1,n+1},F_{i-1,n+2})+(-F_{i-1,2}+F_{i-1,1},-2F_{i-1,1})$

$=(F_{i-1,1},F_{i-1,2})A^n+(F_{i-1,1},F_{i-1,2})B_2$

$=(F_{i-1,1},F_{i-1,2})(A^n+B_2)$

$(F_{m,1},F_{m,2})=(F_{i-1,1},F_{i-1,2})(A^n+B_2)^{m-1}$

推出 $A,B_1,B_2$ ，套一下矩阵快速幂即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
const int mod=1e9+7;
const long long N = 3;
LL t,b,c,f1,f2;
struct Node  {  //矩阵  
    long long line,cal;
    long long a[3][3];
    Node(){  
        line=3,cal=3;
        a[0][0] = 0; a[0][1] = 2; a[0][2] = 0;
        a[1][0] = 0; a[1][1] = 2; a[1][2] = 1;
        a[2][0] = 0; a[2][1] = 0; a[2][2] = -1;
    }
    friend Node operator+(Node &A,Node &B){
        Node ret;
        for(int i=0;i<3;++i)
            for(int j=0;j<3;++j)
                ret.a[i][j]=((A.a[i][j]+B.a[i][j])%mod+mod)%mod;
        return ret;
    }
}I,B1,B2;
Node Matlab(Node x,Node s)  {  //矩阵乘法
    Node ans;  
    ans.line = x.line,ans.cal = s.cal;  
    memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
    for(long long i=0;i<x.line;i++)  {
        for(long long j=0;j<x.cal;j++)   {  
            if(x.a[i][j]!=0)
                for(long long k=0;k<s.cal;k++)  {
                            ans.a[i][k] += x.a[i][j]*s.a[j][k];
                            ans.a[i][k]=((ans.a[i][k]+mod)%mod+mod)%mod;
                      }
        }
    }
    return ans;  
}
Node Fast_Matrax(Node tmp,LL b)  {  //矩阵快速幂
    Node ans=I;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=Matlab(ans,tmp);
        b>>=1;
        tmp=Matlab(tmp,tmp);
    }
    return ans;
}
int main()  {
    for(int i=0;i<3;++i)
        for(int j=0;j<3;++j){
            if(i==j)
                I.a[i][j]=1;
            else
                I.a[i][j]=0;
            B1.a[i][j]=B2.a[i][j]=0;
        }
    B1.a[0][0]=-1;B1.a[0][1]=0;B1.a[0][2]=0;
    B1.a[1][0]=0;B1.a[1][1]=-1;B1.a[1][2]=0;
    B2.a[0][0]=1;B2.a[0][1]=-1;B2.a[0][2]=0;
    B2.a[1][0]=-2;B2.a[1][1]=0;B2.a[1][2]=0;
    int T;
    LL n,m;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>n>>m;
        Node A,tmp,tmp2;
        for(int i=0;i<3;++i)
            for(int j=0;j<3;++j)
                A.a[i][j]=0;
        if(n==1 || m==1){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        tmp=Fast_Matrax(tmp,n-1);
        A.a[0][0]=((tmp.a[0][1]-tmp.a[0][2])%mod+mod)%mod;
        A.a[0][1]=((tmp.a[1][1]-tmp.a[1][2])%mod+mod)%mod;
        tmp=Node();
        tmp=Fast_Matrax(tmp,n);
        A.a[1][0]=((tmp.a[0][1]-tmp.a[0][2])%mod+mod)%mod;
        A.a[1][1]=((tmp.a[1][1]-tmp.a[1][2])%mod+mod)%mod;
        if(n&1)
            A=A+B2;
        else
            A=A+B1;
        A=Fast_Matrax(A,m-1);
        LL ans=((A.a[0][0]+A.a[0][1])%mod+mod)%mod;
        cout<<ans<<endl;
    }
}