2017多校第二场 HDU 6050 Funny Function 推公式

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ACM/ICPC 2017多校网络赛现场赛解题报告

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本文介绍了解决 HDU 6050 题目的方法，通过发现数列规律推导出通项公式，并给出了利用快速幂进行高效计算的 C++ 实现代码。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6050

解法：对于构造矩阵感觉自己不怎么会，我选择了找规律，我首先推出了每个f1,i和和f1,1的关系，发现它们的系数是1，1，3，5，11, 21,发现这个用2^n近似之后模3等于？多推了几次发现要用(-1)^n来修正一下。那么通项公式就可以推出来 f(n) = （2^n-(-1)^n/3）*f(1)。然后队友在比赛的时候说过，对于前m项求和之后，也是满足这个递推式子的，所以把这个公式的值当成y，把y再带进公式就可以推出答案了。

//n&1 ans = (2*(2^n-1)^(m-1)+1)/3
// ans = 2*(2^n-1)^(m-1)/3

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
//n&1 ans = (2*(2^n-1)^(m-1)+1)/3
// ans = 2*(2^n-1)^(m-1)/3
//
const LL mod = 1e9+7;
LL qsm(LL a, LL n)
{
    LL ret  =1;
    while(n){
        if(n&1) ret = ret*a%mod;
        a=a*a%mod;
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        LL n, m, ans;
        scanf("%lld %lld", &n,&m);
        if(n&1){
            ans = ((2*qsm((qsm(2,n)-1),m-1))%mod+1)*qsm(3,mod-2)%mod;
        }
        else{
            ans = (2*qsm((qsm(2,n)-1)%mod,m-1)%mod)*qsm(3,mod-2)%mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}