12、图论中的分解与强正则图构造

图论中的分解与强正则图构造

1. 图的分解相关内容

1.1 Kneser图与Johnson图的关系

在图论中，Kneser图和Johnson图有着紧密的联系。对于整数 (v) 和 (n)，满足 (1 \leq n \leq v) 时，Kneser图 (K(v, n)) 的顶点对应于一个包含 (v) 个元素集合的 (n) 元子集，两个顶点相邻当且仅当对应的两个集合不相交。特别地，(J(v, 2)) 同构于 (K(v, 2)) 的补图 (K^c(v, 2))。

1.2 图的分解推论

基于上述关系，有以下重要推论：
- 推论2 ：当 (v \equiv 0, 1, 2 \pmod{4}) 且 (v \geq 4) 时，(K^c(v, 2)) 存在 ((C_4, 2K_2)) - 分解；当 (v \equiv 3 \pmod{4}) 且 (v \geq 7) 时，(K^c(v, 2)) 存在 ((C_4, 2K_2)) - 填充（覆盖），其剩余（填充）部分由一条边组成。
- 推论3 ：当 (v \equiv 0, 1, 2 \pmod{4}) 且 (v \geq 4) 时，(L(K_v)) 存在 ((C_4, 2K_2)) - 分解；当 (v \equiv 3 \pmod{4}) 且 (v \geq 7) 时，(L(K_v)) 存在 ((C_4, 2K_2)) - 填充（覆盖），其剩余（填充）部分由一条边组成。

这两个推论可以用表格总结如下：
| 图 | (v) 的条件 | 分解情况 |
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