25、形状分析与三维形状推断技术解析

形状分析与三维形状推断技术解析

1. 表面谐波表示

表面谐波表示法将表面表示为固定谐波基函数的线性组合。谐波函数是拉普拉斯方程的解，在笛卡尔坐标系中，拉普拉斯方程为：
[
\nabla^{2}\Phi (x, y, z) = 0
]
即
[
\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}} = 0
]
不过，大部分关于谐波表示的工作是在球坐标系中进行的。在球坐标系下，拉普拉斯方程为：
[
\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial\Phi}{\partial r}\right) + \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial\varphi^{2}} = 0
]
我们寻求可分离形式的解，即
[
\Phi (r, \theta, \varphi) = R(r) \Theta (\theta)\Psi(\varphi)
]
在这种限制下，偏微分方程可分离为三个常微分方程，其解为
[
P_{l}^{m} \