11、原子系统中径向态的研究：从离散本征态到WKB近似

原子系统中径向态的研究：从离散本征态到WKB近似

1. 离散箱本征态与R - 矩阵理论

首先，我们关注在区间 $[0, b]$ 内定义的离散箱本征态。对于给定的波数 $k_n$，除振幅外，箱态 $\phi_n(r)$ 与无限长本征态 $\varphi_{k_n}(r)$ 成比例，即：
$\phi_n(r) = a_n\sqrt{\frac{r\pi}{2}}\varphi_{k_n}(r),\ 0 \leq r \leq b$
我们可以将 $\phi_n(r)$ 按无限范围基 $\varphi_k(r)$ 展开：
$\phi_n(r) = \int_{0}^{\infty}dkA_n(k)\varphi_k(r),\ 0 \leq r \leq b$
通过计算，展开系数 $A_n(k)$ 为：
$A_n(k) = \frac{a_n}{\sqrt{2\pi}}\left(\frac{\sin(k - k_n)b}{k - k_n} - \frac{\sin(k + k_n)b}{k + k_n}\right)$
这表明箱态 $\phi_n(r)$ 实际上是一个波包，其振幅分布 $A_n(k)$ 围绕 $\pm k_n$ 波数展开。波数 $k_n$ 越高（或相应能量 $\epsilon_n = k_n^2/2$ 越高），波包在 $\pm k_n$ 值附近越集中。

从计算角度看，离散基 $\phi_n(r)$ 可用于表示任意波数 $k$ 的径向态，因为它在区域 $[0, b]$ 内构成一个完备基集。这意味着它可用于展开该区间内的任何函数。

R - 矩阵理论最初由Wigner和Eisenbub（1947）提出，用于描述核散射过