9、激光脉冲相关理论与计算方法解析

激光脉冲相关理论与计算方法解析

1. 量子态演化方程

在研究量子态 $|q\rangle$ 时，可得到如下方程：
[
ı\dot{y} q(t) = E_qy_q(t) + \sum {q’\neq q} H_{qq’}(t)y_{q’}(t) - ı\sum_{pq’} \int_{t_q}^{t} dt’H_{qp}H_{pq’}e^{-ıE_p(t - t’)}y_{q’}(t’)
]
此方程的最后一项为复数，体现了非幺正时间演化的特征，即当概率从 Krylov 子空间逸出时，$\hat{\psi} Q$ 的范数不再守恒。若考虑到一般情况下，对于相对 $|\hat{H}_0|$ 哈密顿量不太强的势 $V(t)$，非对角元素 $H {qp}H_{pq’} \ll |H_{pq}|^2$，经过一些处理后，方程可简化为：
[
ı\dot{y} q(t) = \left(E_q - ı\sum {p} \frac{|H_{pq}|^2}{E_q - E_p}\right)y_q(t) + \sum_{q’\neq q} H_{qq’}(t)y_{q’}(t)
]
其中，$\frac{|H_{pq}|^2}{E_q - E_p}$ 用于确定“泄漏”粒子数率。

2. 数值算法问题

• RK4 单步算法 ：对于初值常微分方程 $\dot{y}(t) = f(t, y)$，RK4 单步算法表示为：
  [
  y_{q + 1} = y_q + \tau \left(\frac{1}