4、矩阵计算方法与特性解析

矩阵计算方法与特性解析

1 矩阵计算方法

1.1 最小二乘法与伽辽金法

在求解方程时，最小二乘法和伽辽金法是两种重要的方法。最小二乘法通过对 (c_i) 求导，即 (2\int dxr(x; c) \frac{\partial}{\partial c_i} r(x; c) = 0)，代入 (r(x)) 关于 ({c_i}) 的展开式，并将空间积分移到求和内部，可得到形如 (A^TAc = b’) 的矩阵方程，其中 (b’ = A^T(b - a_0))，(A_{ij} = \langle\varphi_i|\hat{L}|\varphi_j\rangle_x)，(b_i = \langle\varphi_i|\hat{L}|b\rangle_x)，(a_{i0} = \langle\varphi_i|\hat{L}|\varphi_9\rangle_x)，(A^T) 是 (A) 的转置，(\langle f | g\rangle_x \equiv \int_{a}^{b} dx f(x)g(x))。该方法的一个重要优点是能为超定方程组提供解，并且 (A^TA) 是对称正定矩阵，具有良好的数值特性。

伽辽金法通过投影操作得到与最小二乘法相同的方程组。在完整基的极限情况下，残差误差应趋近于零，但由于基的截断，(r(x)) 不为零。伽辽金法要求 (\int_{a}^{b} dx\varphi_j (\hat{L}y(x) - b(x)) = \langle\varphi_j|r\rangle = 0)，(j = 1(1)N)。将 (y(x)) 用 (c_i) 展开后，可得到 (Ac = b_0)，其中 (b_0 = b - a_0)，(b_i = \langle\varphi_i|