33、在一个使用维吉尼亚关键字密码加密的密文中，有一些重复字母组及其间隔信息如下：字母组AEY出现4次，间隔分别为12、24、36；字母组PEZ出现3次，间隔分别为18、36；字母组TSRK出现2次，间隔为42；字母组GTEM出现2次，间隔为48；字母组QPIAP出现2次，间隔为24。仅根据这些信息，使用卡西斯基测试找出该密码关键字的最可能长度。
先求这些间隔的最大公约数，即 gcd(12, 24, 36, 18, 42, 48) = 6 ，所以关键字的最可能长度是 6。
34、在使用维吉尼亚关键字密码形成的密文中，有一些重复的字母组，这些字母组的出现次数以及它们之间的间隔如下：字母组PFY出现5次，间隔为16, 32, 48, 64；字母组AQZ出现4次，间隔为24, 48, 72；字母组RSVP出现3次，间隔为32, 48；字母组NEET出现2次，间隔为24；字母组MIWX出现2次，间隔为48。仅根据这些信息，使用卡西斯基测试来找出该密码关键字的最可能长度。
下面是给定的【文本内容】：
需要求出16、32、48、64、24、72、32、48、24、48这些数的最大公约数，这些数的最大公约数是8，所以该密码关键字的最可能长度是8。
35、查找有关弗里德里希·卡西斯基（Friedrich Kasiski）及其破解维吉尼亚关键字密码的努力的信息，并总结你的发现。
卡西斯基测试法简介
弗里德里希·卡西斯基生活在19世纪，是普鲁士军队的职业军官。他在辞去正式军职后开展密码学工作，其工作在他有生之年未得到重视，可能他自己也未意识到其重要性。
- 1863年 ：他在德国出版的一本小册子中提出了 卡西斯基测试法 。
- 历史背景 ：该测试法实际上在 近十年前 已由英国数学家和发明家 查尔斯·巴贝奇 独立发现。
卡西斯基测试法原理
卡西斯基测试法依赖于明文里字母组与关键字中字母偶然的对齐情况。
- 在 维吉尼亚关键字密码 的密文中，若一组字母重复出现：
- 这些重复出现的起始位置间的距离 可能是关键字长度的倍数 。
- 通过找出重复字母组起始位置间距离的 公约数 ：
- 其中 最大公约数 最有可能是关键字的长度。
36、查找一些关于莱斯特·希尔获得专利的密码装置的信息，并对你的发现进行总结。
希尔为一种新的密码装置获得了专利，在1929年发表描述使用数学进行加密和解密程序的第一种密码类型的文章后不久，他在 美国数学学会 上就这种密码进行演讲时展示了该密码装置，演讲后来以《 关于某些密码学线性变换装置 》为题发表，但未给出该装置的具体信息。
37、对于加密公式为 yi = (xiA + xi−1B) mod 26 的希尔密码，证明解密公式为 xi = (yi − xi−1B)A−1 mod 26。
从加密公式
$$ y_i = (x_i A + x_{i-1} B) \mod 26 $$
开始，两边同时减去 $ x_{i-1} B $，得到
$$ y_i - x_{i-1} B = x_i A \mod 26 $$。
然后两边同时左乘 A 的逆矩阵 $ A^{-1} $，可得
$$ (y_i - x_{i-1} B) A^{-1} = x_i A A^{-1} \mod 26 $$。
因为 $ A A^{-1} $ 为单位矩阵，所以
$$ x_i A A^{-1} = x_i $$，
从而得出
$$ x_i = (y_i - x_{i-1} B) A^{-1} \mod 26 $$。
38、对于加密公式为 yi = (xiA + yi−1B) mod 26 的希尔密码，证明解密公式为 xi = (yi − yi−1B)A−1 mod 26。
已知加密公式为
$$ y_i = (x_i A + y_{i - 1} B) \mod{26} $$
为得到解密公式，我们对加密公式进行变换。
首先，将 $ y_{i - 1} B $ 移到等式另一边，得到
$$ y_i - y_{i - 1} B = x_i A \mod{26} $$
然后，在等式两边同时左乘 $ A $ 的模 26 逆矩阵 $ A^{-1} $，根据矩阵运算规则，
$$ A^{-1}(y_i - y_{i - 1} B) = A^{-1} x_i A \mod{26} $$
由于 $ A^{-1} A = I $（单位矩阵），所以
$$ A^{-1}(y_i - y_{i - 1} B) = x_i \mod{26} $$
即
$$ x_i = (y_i - y_{i - 1} B) A^{-1} \mod{26} $$
得证。
39、考虑一个RSA密码，其加密密钥e = 27，m = 55，对应关系为A = 0，B = 1，C = 2，…，Z = 25。(a) 验证此密码的解密指数为d = 3。(b) 解密使用此密码生成的密文17, 28, 0, 20, 0, 23。
对于(a)，需验证$ ed \equiv 1 \ (\text{mod} \ \varphi(m)) $。
先求$ \varphi(m) $，因为$ m = 55 = 5 \times 11 $，所以
$$
\varphi(m) = (5 - 1) \times (11 - 1) = 40
$$
计算$ ed = 27 \times 3 = 81 $，
$$
81 \mod 40 = 1
$$
所以解密指数$ d = 3 $正确。
对于(b)，使用解密公式
$$
x = y^d \mod m
$$
分别对每个密文进行解密：
- $ 17^3 \mod 55 = 12 $
- $ 28^3 \mod 55 = 17 $
- $ 0^3 \mod 55 = 0 $
- $ 20^3 \mod 55 = 25 $
- $ 0^3 \mod 55 = 0 $
- $ 23^3 \mod 55 = 18 $
对应字母为 M、R、A、Z、A、S。
40、查找有关RSA密码在现实生活中的一个或多个实际应用的信息，并对你的发现进行总结。
RSA密码在现实生活中应用广泛，如果你使用过自动取款机（ATM）或通过互联网用信用卡购物，很可能就不知不觉地使用了 RSA 密码。此外，RSA 密码还广泛用于保障网络通信安全、数字签名等领域。
41、仅根据以下每个结果，费马小定理能让你对模数是否为素数得出什么结论？(a) 2的6600次方 模 6601 等于 1；(b) 3的22606次方 模 22607 等于 3955；(c) 4的39996次方 模 39997 等于 17872；(d) 5的52632次方 模 52633 等于 1
- (a) 6601可能是素数；
- (b) 22607肯定不是素数；
- (c) 39997肯定不是素数；
- (d) 52633可能是素数
42、已知标准12号字体通常平均每英寸能打印10个数字，验证长度为23249425位的质数2^77232917 - 1若用标准12号字体打印，长度将超过36英里。
根据已知，每英寸可打印10个数字，该质数有23249425位，则其打印长度为
$$ 23249425 \div 10 = 2324942.5 \text{英寸} $$
因为1英里等于63360英寸，所以
$$ 2324942.5 \div 63360 \approx 36.7 \text{英里} $$
由于
$$ 36.7 \text{英里} > 36 \text{英里} $$
所以该质数用标准12号字体打印长度将超过 36英里 。
43、查找有关里维斯特（Rivest）、沙米尔（Shamir）和阿德尔曼（Adleman）在1977年提出的原始因式分解挑战的信息，包括挑战的动机、具体内容以及研究人员解决该挑战的尝试，并对你的发现进行总结。
1977年，里维斯特、沙米尔和阿德尔曼向公众提出挑战：破解一个特定的RSA密码，若有人能在五年内完成，将获得100美元象征性现金奖励。
该RSA密码使用的模数 $ m = p \cdot q $ 为129位数字，据当时的因式分解技术和技术水平估计，分解 $ m $ 需要40万亿年。
随着技术进步，1994年，在荷兰数学家阿杰恩·伦斯特拉（Arjen Lenstra）的带领下，一个由600人组成的团队在1600台计算机上工作了六个多月，成功分解了 $ m $。
他们提出此挑战不仅是为了娱乐，也是为了鼓励整数因式分解领域的研究，因为这种因式分解的普遍困难性使他们的密码类型具有合法性。
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