切换随机系统在汽车节气门中的应用

切换随机非线性系统在汽车节气门中的应用

摘要

本文提出了确保切换随机非线性系统几乎必然稳定性的结果。系统的参数切换规则由独立同分布随机变量驱动。在此情况下，我们证明当相应矩阵的谱半径小于一时，该切换非线性系统是几乎必然稳定的。该结果在应用中具有重要意义，文中通过汽车电子节气门装置的应用展示了这一点。该稳定性结果被用于设计汽车节气门装置的实时控制器，实验数据证实了我们方法的有效性。

关键词 ：随机系统；非线性系统；切换系统；随机稳定性；汽车系统；节气门

一、引言

设 $(\Omega, F,{F_t}, P)$ 为一个固定的滤波概率空间，用于描述以下伊藤随机微分方程：
$$
dx(t)=[A_{\sigma(t)}x(t)+ F_{\sigma(t)}(x(t))] dt+ G_{\sigma(t)}(x(t))dW(t), \forall t \ge t_0, \tag{1}
$$
其中， $x(t)$ 表示一个 $n$ 维系统状态， $W(t)$ 表示一个 $m$ 维标准布朗运动，初始状态 $x(t_0) = x_0$ 已知。假设过程 ${\sigma(t)}$ 是一个基本的随机过程，其取值在一个给定的有限集合内，即 $\sigma(t) \in{1,…, N}$，且当 $\sigma(t) = i$ 时，$A_{\sigma(t)}= A_i$, $F_{\sigma(t)}(\cdot) = F_i(\cdot)$ 以及 $G_{\sigma(t)}(\cdot) = G_i(\cdot)$。矩阵 $A_{\sigma(t)}$ 属于集合 ${A_1,…, A_N}$，对每个 $t \ge t_0$ 成立，且算子 $F_i(\cdot)$ 和 $G_i(\cdot)$， $i= 1，⋯， N$ 是可测的且 $F_t$‐可料的。

过程 $\sigma(t)$ 被称为切换信号，而 $\sigma(t)$ 的不连续点，记为 $0< t_1 < t_2 < \cdots< t_k \cdots$ 被称为切换时刻。当发生一个切换时刻时，例如在 $t_k$，矩阵 $A_{\sigma(t)}$ 会从 $A_i$ 瞬时切换到 $A_j$ ，对于某个 $i \ne j$，类似地适用于 $F_{\sigma(t)}(\cdot)$ 和 $G_{\sigma(t)}(\cdot)$。此外， $t_k$ 随着 $k$ 以概率一（几乎必然）趋于无穷而趋于无穷。

本文的主要贡献是提出条件，以确保如下定义的(1)中的切换随机非线性系统是几乎必然稳定的。

定义1.1 ：( [1])。我们称式(1)中的随机非线性系统是几乎必然稳定的，如果给定 $\varepsilon> 0$ ，存在一个常数 $c= c(\varepsilon, x_0) > 0$， 使得
$$
Pr(|x(t)|^2 \le c) \ge 1 - \varepsilon, \forall t \ge t_0.
$$
有趣的是，${t_k}$ 的行为对于确保(1)的稳定性至关重要。例如，在确定性自治情况下（即 $F_{\sigma(t)}(\cdot) \equiv G_{\sigma(t)}(\cdot) \equiv 0$），即使矩阵 $A_1，⋯， A_N$ 是稳定的，也可能产生不稳定轨迹，这取决于 ${t_k}$ 的选择方式[2,Ch. 3]。保证无切换的较短时间间隔是所谓驻留时间[3],[4],[5]背后的主要思想；然而，在我们的随机设定中，切换序列 ${t_k}$ 是一个随机过程，可能存在具有非零概率的过小的时间间隔 $t_{k+1} - t_k$（例如，第三节）。因此，这些用于确定性切换系统的工具不适用于我们的随机设定。

基于假设：区间 $\Delta_k= t_{k+1} -t_k$ 构成一个具有平稳概率 $p_\Delta$ 的独立同分布随机过程，我们证明了只要矩阵 $\int_{0}^{+\infty} \exp(A_it)p_\Delta(dt)$、 $i= 1、…、 N$ 的谱半径严格小于1，则(1)中的系统是几乎必然稳定的——这些矩阵 $A_i$ 在第二节中定义。该谱半径条件易于验证（见第三节），这一特点便于在应用中使用本文的稳定性结果。这构成了本文的主要贡献。

为了说明我们的研究成果在应用中的有效性，我们开展了针对汽车电子节气门装置的建模与控制实验。节气门在车辆中被广泛使用，是控制发动机输出功率的关键设备。我们的稳定性结果被用于设计一个镇定控制器，并在实际中实现了对节气门的控制，采集的数据支持了理论分析的结果。

总之，本文在随机非线性系统理论和实时应用两个方面均做出了贡献。

注记1.1 ：切换信号 ${\sigma(t)}$ 表示任意随机过程；特别地，它可以用来表示马尔可夫过程或半马尔可夫过程 [6],[7]。注意，这两种过程都依赖于底层马尔可夫链。

本文的结构如下。第二节引用了符号说明、定义，并给出了随机非线性系统(1)的主要结果。第三节提出了一个应用于节气门设备的推导理论的应用。最后，第四节给出了一些结论性评述。

II. 符号说明、定义和主要结果

符号 $| \cdot |$ 表示在 $\mathbb{R}^n$ 上的欧几里得范数以及在 $\mathbb{R}^{n\times m}$ 上的弗罗贝尼乌斯范数。给定 $U \in \mathbb{R}^{n\times n}$，值 $\rho(U)$ 表示 $U$ 的谱半径。符号 $\text{vec}(V)$ 表示矩阵 $V$ 的向量化。符号 $\otimes$ 表示克罗内克积，它使我们能够写出 $(U’ \otimes M) \text{vec}(V) = \text{vec}(MV U)$，其中 $M$、 $U$ 和 $V$ 是具有兼容维度的矩阵。

为了保证(1)的解的存在性和唯一性，我们需要以下两个假设：
(i) 函数 $F_i ： \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ 和 $G_i$ 是 $G_i ： \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}^{n\times m}$， $i= 1，⋯， N$，是博雷尔可测、局部利普希茨的；
(ii) 在 $\mathbb{R}^{n\times n}$ 上存在一组矩阵 $(H_1, …, H_N)$ 和一个常数 $h> 0$，使得
$$
xF_i(x)’ + F_i(x)x’ + G_i(x)G_i(x)’ \le H_ixx’H’_i + hI, \quad i= 1,…, N, \forall x \in \mathbb{R}^n. \tag{2}
$$

注释 2.1 ：上述条件 (i) 和 (ii) 是对 [8, Thm. 3.1, p. 51] 中所给出条件的直接调整——[8, Thm. 3.1, p. 51] 的结果可作相应调整，以证明 (1) 中的 $x(t)$ 几乎必然连续（另见 [6, Prop. 2.4, p. 33] 证明中的相关论证）。因此，此后我们假设 $x(t)$ 几乎必然连续。

A. 切换时刻的一个条件

回想一下，当 $\sigma(t_k)= j$ 且 $\sigma(t_k^-)= i \ne j$ 时，发生切换时刻 $t_k$，该切换事件由过程 ${\sigma(t)}$ 的某个实现触发。底层过程
$$
\Delta_k= t_{k+1} - t_k, \forall k \ge 0, \tag{3}
$$
使我们能够引入下一个假设。

假设 2.1 ：如 (3) 中所述的随机过程 $\Delta={\Delta_k}$ 是一个独立同分布的随机变量序列，其平稳概率分布由 $p_\Delta$ 表示。此外， $\Delta_k$ 和 $x(t_k)$ 是独立随机变量。

现在，我们可以提出本文的主要结果。

定理2.1 ：设
$$
\bar{A} i = I \otimes A_i + A_i \otimes I + H_i \otimes H_i, \quad i= 1,…, N, \tag{4}
$$
并且假设
$$
\rho\left(\int {0}^{+\infty} \exp(\bar{A} i t)p \Delta(dt)\right)< 1, \quad i= 1,…, N. \tag{5}
$$
则存在常数 $0< \xi< 1$ 和 $\beta> 0$，使得
$$
\mathbb{E}[|x(t_k) |^2 ] \le \xi^k |x_0 |^2 + \beta/(1 - \xi), \forall k \ge 0. \tag{6}
$$
此外，(1)中的随机非线性系统是几乎必然稳定的。

注释2.2 ：定理2.1的结果依赖于(3)中的切换间隔 $\Delta_k$ 由平稳概率密度函数驱动这一条件。这样的条件支持任意概率密度函数，这一事实为应用带来了灵活性。例如，在下一节中，我们展示了针对汽车电子节气门阀的一些实验——实验数据证实，切换间隔 $\Delta_k$ 构成了服从伽马分布的独立同分布随机过程。随后在定理2.1中应用了伽马分布，以设计用于汽车节气门装置的实时稳定控制器，更多细节请参见第三节。

注释2.3 ：由泊松平稳分布驱动的过程 $\Delta_k$ 意味着 $\sigma(t)$ 是一个连续时间马尔可夫链[7]。在这种情况下，对于线性系统（即(1)中的 $F_{\sigma(t)} \equiv 0$ 和 $G_{\sigma(t)} \equiv 0$），文献[9]的作者给出了均方稳定性的充要条件。

B. 定理2.1的证明

我们将定理2.1的证明分为两部分。在第一部分中，我们给出辅助引理；在第二部分中，我们给出证明定理2.1的主要论证。

引理2.1 ：假设存在一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ 和一个常数 $c> 0$，使得
$$
\left| \int_{0}^{+\infty} \exp(At)p_\Delta(dt) \right| \le c. \tag{7}
$$
然后，对于某个适当的常数 $c_1> 0$，
$$
\left| \mathbb{E}\left[\int_{t_k}^{t_{k+1}} \exp(A(t_{k+1} - \tau))d\tau\right] \right| \le c_1, \forall k \ge 0.
$$

证明 ：众所周知（例如 [10,第 26]页），存在一个矩阵 $P \in \mathbb{R}^{n\times n}$，使得 $A= P\text{diag}(J_1, . . . , J_n)P^{-1}$，其中 $J_1,… , J_n$ 表示 $A$ 的约旦块。此外（[10,第 26]页），$\exp(At)= P\text{diag}(\exp(J_1t),…, \exp(J_nt))P^{-1}. \tag{8}$

现在，设 $\lambda_i$ 为对应于块 $J_i$ 的特征值，并设 $m_i$ 为该块的阶（维数）。为了说明起见，如果 $m_i= 3$，则
$$
J_i = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & 0 \ 0 & \lambda_i & 1 \ 0 & 0 & \lambda_i \end{bmatrix}; \exp(J_i t)= \exp(\lambda_i t) \begin{bmatrix} 1 & t & t^2/2! \ 0 & 1 & t \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
$$
用 $|\cdot| \infty$ 表示最大绝对行和可得
$$
| \exp(J_i t)| \infty = \sum_{\ell=0}^{m_i-1} t^\ell \exp(\lambda_i t). \tag{9}
$$
将(9)的两边同时乘以$d\tau$，并对所得表达式进行积分，我们得到对于每个 $i= 1，…， n$
$$
\int_{0}^{t} \sum_{\ell=0}^{m_i-1} \tau^\ell \exp(\lambda_i \tau)d\tau= \int_{0}^{t} | \exp(J_i \tau)| \infty d\tau = \left| \int {0}^{t} \exp(J_i \tau)d\tau \right| \infty. \tag{10}
$$
另一方面，对(8)应用上述推理意味着
$$
\int {0}^{t} \exp(A\tau)d\tau = P\text{diag}\left(\int_{0}^{t} \exp(J_1\tau)d\tau,…, \int_{0}^{t} \exp(J_n\tau)d\tau\right) P^{-1}. \tag{11}
$$
由 (10) 和 (11) 可得
$$
\left| \int_{0}^{t} \exp(A\tau)d\tau \right| \infty \le |P| \infty|P^{-1}| \infty \sum {i=1}^{n} \int_{0}^{t} \sum_{\ell=0}^{m_i-1} \frac{\tau^\ell}{\ell!} \exp(\lambda_i\tau)d\tau. \tag{12}
$$
式 (12) 右边的积分可以通过繁琐的计算求解；为简便起见，令 $f_i: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 为 $m_i$ 阶多项式（即形如 $f_i(t) =\sum_{\ell=0}^{m_i-1} \alpha_\ell t^\ell, \ell= 0, . . . , m_i$ 的单项式之和），使得
$$
\int_{0}^{t} \sum_{\ell=0}^{m_i-1} \frac{\tau^\ell}{\ell!} \exp(\lambda_i\tau)d\tau= \exp(\lambda_it)f_i(t)- f_i(0),
$$
结合 (12)，这意味着（设 $\eta:=|P| \infty|P^{-1}| \infty$）
$$
\left| \int_{0}^{t} \exp(A\tau)d\tau \right| \infty \le \eta\left( \sum {i=1}^{n} \exp(\lambda_it)f_i(t)- f_i(0)\right). \tag{13}
$$
对 (13) 两边关于 $p_\Delta(dt)$ 从 0 到 $\infty$ 积分，我们有
$$
\int_{0}^{\infty} \left| \int_{0}^{t} \exp(A\tau)d\tau \right| \infty p \Delta(dt) \le \eta\left(- \sum_{i=1}^{n} f_i(0)+ \sum_{i=1}^{n} \int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_it)f_i(t)p_\Delta(dt)\right). \tag{14}
$$
现在，我们证明 (14) 括号内最右边的项是有界的。事实上，由 (8) 可知
$$
\int_{0}^{+\infty} \exp(At)p_\Delta(dt)= P\text{diag}\left(\int_{0}^{+\infty} \exp(J_1t)p_\Delta(dt), …, \int_{0}^{+\infty} \exp(J_n t)p_\Delta(dt)\right)P^{-1}.
$$
条件(7)在上述应用中，保证了存在一个常数 $c> 0$ 使得
$$
\int_{0}^{\infty} \sum_{\ell=0}^{m_i-1} \frac{t^\ell}{\ell!} \exp(\lambda_i t)p_\Delta(dt) \le c(m_i -1)!, \quad i= 1,…, n. \tag{15}
$$
但将表达式 $f_i(t)=\sum_{\ell=0}^{m_i-1} \alpha_\ell t^\ell$ 代入 (15) 得到
$$
\int_{0}^{\infty} \exp(\lambda_i t)f_i(t)p_\Delta(dt) \le m_i! \max{\alpha_0,…, \alpha_{m_i}}, \tag{16}
$$
这表明 (14) 中最右边的项有上界。现在，我们可以给出完成证明的论证。根据假设 2.1，我们可以写出
$$
\mathbb{E}\left[\int_{t_k}^{t_{k+1}} \exp(A(t_{k+1} - \tau))d\tau\right] = \mathbb{E}\left[\int_{0}^{\Delta_1} \exp(A(\Delta_1 - \tau))d\tau\right] = \int_{0}^{\infty}\left(\int_{0}^{t} \exp(A\tau)d\tau\right)p_\Delta(dt). \tag{17}
$$
结果随后由(17)得出，因为(14)右边的表达式有上界。

证明 ：（定理2.1的证明——续）。假设$t_1< t_2$是两个固定的切换时刻，满足 $\sigma(t_1)= i$ 和 $\sigma(t_2) = j$，其中 $i \ne j$。为了说明该结果，需要推导函数 $X(t) = x(t)x(t)’$ 的随机微分方程。为此，在假设 $\sigma(t) = i$ 对于 $t \in[t_1, t_2]$ 成立的条件下，我们应用伊藤公式 [11, Thm. 5.3.8, p. 90] 得到
$$
dX(t)=([A_i x(t)+ F(x(t))]x(t)’ + x(t)[A_i x(t)+ F(x(t))]’+ G(x(t))G(x(t))’)dt+[G(x(t))x(t)’+ x(t)G(x(t))’]dW(t). \tag{18}
$$
将(2)代入(18)可得
$$
dX(t) \le(A_i x(t)x(t)’ + x(t)x(t)’ A’ i + H_i x(t)x(t)’ H’_i + hI)dt+[G(x(t))x(t)’+ x(t)G(x(t))’]dW(t). \tag{19}
$$
对(19)两边取期望值，并利用(19)中最右边的项的期望值等于零这一性质，因为 $x(t)$ 和 $W(t)$ 是独立随机变量[8, Thm. 5.8, p.22]，我们得到
$$
\frac{d\mathbb{E}[X(t)]}{dt} \le A_i \mathbb{E}[X(t)]+\mathbb{E}[X(t)]A’_i + H_i \mathbb{E}[X(t)]H’_i + hI, \quad \forall t \in[t_1 , t_2). \tag{20}
$$
接下来，我们给出一个表达式，该表达式作为$\mathbb{E}[X(t)]$的上界。为此，考虑如下矩阵微分方程
$$
\dot{\Psi}(t)= A_i \Psi(t)+\Psi(t)A’_i + H_i \Psi(t)H’_i + hI, \Psi(t_1)= \mathbb{E}[X(t_1)], \forall t \in[t_1 , t_2]. \tag{21}
$$
注意到 $d\mathbb{E}[X(t)]/dt \le \dot{\Psi}(t)$；因此，$\mathbb{E}[X(t)]$ 的上界为 $\Psi(t)$。通过对 (21) 的两边进行堆叠，我们得到
$$
\text{vec}(\dot{\Psi}(t))=(I \otimes A_i+ A_i \otimes I+ H_i \otimes H_i)\text{vec}(\Psi(t)) + h\text{vec}(I), = \bar{A}_i\text{vec}(X(t))+ h\text{vec}(I), \forall t \in[t_1, t_2],
$$
其解为
$$
\text{vec}(\Psi(t))= \exp(\bar{A}_i(t - t_1))\text{vec}(\mathbb{E}[X(t_1)]) + h\int {t_1}^{t} \exp(\bar{A} i(t - \tau))\text{vec}(I)d\tau, \forall t \in[t_1, t_2]. \tag{22}
$$
对 (22) 的两边应用欧几里得范数，并回忆 $\Psi(t)$ 是 $\mathbb{E}[X(t)]$ 的上界，我们得到
$$
|\mathbb{E}[X(t)]| \le \left| \exp(\bar{A}_i(t - t_1))\text{vec}(\mathbb{E}[X(t_1)]) + h\int {t_1}^{t} \exp(\bar{A} i(t - \tau))\text{vec}(I)d\tau \right|, \forall t \in[t_1, t_2]. \tag{23}
$$
注意到当 $t= t_2$ 时 (23) 成立，因为 $\lim {t\uparrow t_2} \mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}[X(t_2)]$ 成立，这是由于解 $x(t)$ 的连续性（见注释 2.1）。

到目前为止，我们假设了时刻 $t_1$ 和 $t_2$ 是固定的。在两个时刻均为随机变量的情况下（如假设 2.1 所述）， (23) 中的评估必须加以补充。为此，我们现在分析 (23) 右边的第一项。

由于 $\Delta_2= t_2 - t_1$ 和 $x(t_1)$ 是独立随机变量， $\exp(\bar{A} i(t_2 - t_1))\text{vec}(X(t_1))$ 的期望值等于
$$
\mathbb{E}[\exp(\bar{A}_i(t_2 - t_1))\text{vec}(\mathbb{E}[X(t_1)])] = \mathbb{E}[\exp(\bar{A}_i\Delta_2)] \mathbb{E}[\text{vec}(X(t_1))]. \tag{24}
$$
但是，根据期望值的定义，我们有
$$
\mathbb{E}[\exp(\bar{A}_i\Delta_2)]= \int {0}^{+\infty} \exp(\bar{A} it)p \Delta(dt),
$$
结合(5)，我们可以确保存在一个矩阵范数 $| \cdot | $ 和一个常数 $0< \xi< 1$，使得（例如，[12, Lem. 5.6.10，第 297]页）
$$
|\mathbb{E}[\exp(\bar{A} i \Delta_2)]| < \xi, \quad i= 1,…, N. \tag{25}
$$
将(25)代入引理2.1得到
$$
\left| \mathbb{E}\left[\int {t_1}^{t_2} \exp(\bar{A} i(t_2 - \tau))d\tau\right] \right| \le c_1 . \tag{26}
$$
现在，我们将(24)–(26)代入(23)，如下所示。回忆由于同构算子$\text{vec}(\cdot)$的存在，在 $\mathbb{R}^{n^2}$ 上存在一个相容向量范数 $| \cdot |_ $ （参见 [12,第 297]页）；结合此结论以及(23)–(26)，我们得到
$$
|\text{vec}(\mathbb{E}[X(t_2)])| \le \xi|\text{vec}(\mathbb{E}[X(t_1)])|_ + c_1 h. \tag{27}
$$
注意，(27) 中的结果在将 $t_k$ 和 $t {k+1}$ 分别替换 $t_1$ 和 $t_2$ 时也成立。重复该迭代论证可得
$$
|\text{vec}(\mathbb{E}[X(t_k)]) |_ \le \xi^k |\text{vec}(X(t_0)) |_ +c_1 h/(1-\xi), \forall k \ge 0,
$$
这证明了 (6) 中的结果。

为了说明(1)中的随机非线性系统是几乎必然稳定的，我们首先注意到(6)保证了$\mathbb{E}[|x(t_k)|^2]$关于 $k$ 具有一致的界。此外，由于 $x(t)$ 几乎是必然连续的（注释 2.1），当 $t$ 属于区间$(t_k, t_{k+1})$时，$\mathbb{E}[|x(t)|^2]$的值也是有界的。这意味着我们可以选择一个适当的常数 $\gamma> 0$（该常数依赖于区间$\Delta_k= t_{k+1} - t_k$的长度），使得
$$
\mathbb{E}[|x(t)|^2] \le \gamma, \forall t \in(t_k, t_{k+1}). \tag{28}
$$
给定如(28)中的 $\epsilon> 0$ 和 $\gamma$（其可能依赖于 $x_0$），让我们定义 $c= \epsilon^{-1}\gamma$。利用(28)和马尔可夫不等式，我们可写出
$$
Pr(|x(t)|^2> c) \le c^{-1}\mathbb{E}[|x(t)|^2] \le c^{-1}\gamma= \epsilon
$$
得到$Pr(|x(t)|^2> c) \le \epsilon$，即$Pr(|x(t)|^2 \le c) \ge 1-\epsilon$，证明完成。

III. 基于切换随机非线性系统的汽车电子节气门建模

节气门体由一个绕中心轴旋转的圆形板构成，是几乎所有现代火花点火发动机中用于调节发动机输出功率的基本装置。节气门的作用是控制进入燃烧室的空气流量。从控制的角度来看，输出为通过传感器测量的圆形板的角位置，控制输入为施加在内部电机上的电压。文献表明，节气门的建模与控制技术已取得进展，简要概述见[13]–[21]。尽管在许多情况下取得了成功，但由于节气门存在粘滑、滞后效应、复位弹簧和跛行回家约束[14],[17],[20],[21]，其建模与控制仍是一个挑战。我们的方法为这类非线性装置的建模与控制提供了贡献。实际上，我们采用了第二节中的切换随机框架来控制节气门装置，下文将详细介绍。

A. 建模与辨识

为了将第二节中的理论发现在实践中加以应用，我们搭建了一个实验室测试平台，所用设备包括：一块Quanser Q4实时控制板，用于与Matlab‐Simulink软件进行实时数据通信；一块Quanser UPM180‐25‐B‐PWM 功率放大器，用于为设备提供所需的电压和电流；以及一个由大陆西门子 VDO制造的汽车电子节气门体，型号A2C59511705，部件号 06F133062J。

为了尝试建模节气门的非线性行为，[22]和[20]的作者建议使用分段线性系统。分段方法的一个优点是能够将线性系统的简洁性应用于表示此类非线性装置。其附带效应是会丢失重要的非线性效应。例如，[13]的作者考虑了一个包含依赖于位置余弦的非线性项的模型，

而在[14]中，作者考虑了速度的指数。因此，将这两种方法结合起来是合理的，即将分段线性与非线性项结合到一个统一的框架中。该方法的新颖性得到了后续所呈现的实验数据的支持。

文献建议采用三维系统状态来表示汽车电子节气门体 [17],[19],[21], ，即：(i) 节气门阀的角位置，其取值范围为 0°到 90°；(ii) 节气门阀的角速度；以及 (iii) 节气门电机消耗的电流。施加在电机端子上的电压表示模型中的输入。为方便起见，我们分别用 $\theta(t)$、 $\omega(t)$、 $c(t)$ 和 $u(t)$ 表示位置、速度、电流和输入电压。

1) 用于辨识的实验结果：

实际生成了一万个数据点，以检查电压‐位置（即输入‐输出）组合的所有可能情况；相应的数据如图1所示的二维直方图中所示。

数据表明节气门位置应处于某些区间内，这显示出操作的聚类特征。这一发现促使我们将节气门的工作区域划分为七个区域，如图1的下部图表所示。注意，这七个区域，即 $X_1$ ，…， $X_7$ ，是子集满足 $\mathbb{R}^2$ 和 $\cup_{i=1}^{7}X_i \equiv[0, 90]\times[0, 14]$。

利用这七个分区，我们根据以下规则定义分段右连续函数 $\sigma：[0, 90] \times[0, 14] \to{1,…, 7}_{ac}$，如果 $z \in X_i$，则 $\sigma(z) = i$。取$x(t) \equiv 0.1\times[\theta(t) \omega(t) c(t)]’$， 我们可以将节气门装置表示为切换非线性系统
$$
dx(t)= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ a_1(i) & a_2(i) & a_3(i) \ a_4(i) & a_5(i) & a_6(i) \end{bmatrix} x(t)dt+ \begin{bmatrix} 0 \ 0 \ a_7(i) \end{bmatrix} u(t)dt + F(x(t))dt+ G(x(t))dW(t), \tag{29}
$$
通过 $z(t)=[\theta(t) u(t)]’ \in X_i$ 和 $\sigma(z(t)) = i$。为了获得 $a_1(i)…$ ， $a_7(i)$， $i= 1，. . . ，7$ 的值，如表I所示，我们遵循了以下步骤。

在开环结构中，将一个持续激励信号施加到节气门装置的输入端。该持续激励信号是通过将具有时变随机幅度和频率的矩形脉冲序列输入截止频率为10 Hz的五阶巴特沃斯低通滤波器得到的。生成了两百次实验，每次实验采用不同的持续激励信号，每组实验采集80秒的数据，并存储相应的输出。

参数 $a_1(i) … , a_7(i)$ 是通过最小化实时数据中精心选取部分与相应仿真数据（其中$F(x(t)) \equiv 0$ 和 $G(x(t)) \equiv 0$） 之间的均方误差得到的。受[13],[14],[19],的启发，我们设定
$$
F(x(t))= -0.25 \text{sgn}(x_2(t)- 0.1) \times(1+ \text{sgn}(x_1(t)- 3.5)) \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \ a_8(i) \ a_9(i) \end{bmatrix}. \tag{30}
$$
此外，我们计算了实时数据与仿真数据之间的误差。该误差倾向于呈现类高斯直方图，这一发现与假设(29)由布朗运动驱动的结论一致。仅在 $\theta(t)$ 时误差显著，从而导致 $G(x(t)) =[a_{10}( i) 0 0]’$。

切换随机非线性系统在汽车节气门中的应用

B. 基于切换随机非线性系统的控制设计

现在说明定理2.1的有效性。

注释3.2 ：本节展示了一个定理2.1在实时应用中的示例。为此，我们决定在实验室测试平台中实现比例‐积分‐微分（PID）控制器[14],[17],[23]。值得注意的是，本文并未对控制理论做出贡献。实际上，主要贡献在于定理2.1的稳定性结果。PID控制在实验室中仅被用作一种工具。

回想一下，PID控制器可以用规则 $u(t)= K_Px_1(t)+ K_Iq(t) -K_D \frac{dx_1(t)}{dt}$ 和 $q(t) = \int_{0}^{t} (r(s)-x_1(s))ds$ 成立，其中 $r(t)$ 表示任意参考信号。将两个方程代入 (29) 得到
$$
d\begin{bmatrix}x(t)\ q(t)\end{bmatrix} =\left(A_{\text{cl}}(i)\begin{bmatrix}x(t)\ q(t)\end{bmatrix} + r_{\text{cl}}(t)+ \begin{bmatrix}F(x(t))\ 0\end{bmatrix}\right) dt + \begin{bmatrix}G(x(t))\ 0\end{bmatrix}dW(t), \tag{31}
$$
其中 $r_{\text{cl}}(t):=[0\ 0\ 0\ r(t)]’$，且闭环矩阵定义为
$$
A_{\text{cl}}(i) = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \ a_1(i) & a_2(i) & a_3(i) & 0 \ a_4(i)+ a_7(i)K_P & a_5(i)-a_7(i)K_D & a_6(i) & a_7(i)K_I \ -1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}. \tag{32}
$$
定理2.1 的有用性现在变得清晰。给定 $K_P$、$K_I$ 和 $K_D$ 的任意值，我们可以检查条件
$$
\max_{i =1 ,…,N} \rho\left(\int_{0}^{+\infty} \exp(\bar{A} {\text{cl}}(i)t)p \Delta(dt)\right)< 1 \tag{33}
$$
成立。在肯定的情况下，定理2.1 保证系统(31) 是几乎必然稳定的。

为了说明起见，三元组$(K_P, K_I, K_D)=(−0.5, 3.45, 0.03)$满足(33)，且系统(31)是几乎必然稳定的。该三元组值已在实验室测试平台中实现，相应的数据如图3所示。正如预期，节流阀转角位置以稳定行为跟踪了跟踪信号[24]，这与定理2.1的结果一致。

该过程在另外两百次具有不同参考信号的实验中保持稳定，这有力地支持了定理2.1的结果。

$、$x_2(t)$、$x_3(t)$ 和 $x_4(t)$ 分别表示节流阀位置、速度、消耗电流和积分值。)

四、 结论

我们提出了保证切换非线性系统概率稳定性的条件。事实上，我们推导出了一个简单的条件来检验随机系统的稳定性——该条件依赖于某个适当矩阵的谱半径。此外，我们假设切换参数由一个独立同分布随机过程驱动。我们工作的创新之处在于，该随机过程可以支持任意平稳概率密度函数。

我们的结果对应用具有明确的意义。例如，我们利用所得到的稳定性结果设计了一个实时控制器；该控制器已在实际的汽车电子节气门装置上实现。有趣的是，实验验证了该汽车装置的稳定行为。

参数	$i= 1$	$i= 2$	$i= 3$	$i= 4$	$i= 5$	$i= 6$	$i= 7$
$a_1(i) \times10^3$	−11.0084	−11.446	−14.845	−0.5495340	−0.1366	−1.0585	−0.8847
$a_2(i) \times10^3$	−2.322	−2.215	−2.213	−0.48403	−0.1378	−0.9494	−1.1437
$a_3(i) \times10^3$	4.2729	4.0424	2.1464	2.1446	−5.943	−3.2852	−2.2821
$a_4(i) \times10^3$	−1.1498	−0.8344	−1.58	−0.3724	0.3411	0.5529	−0.0293
$a_5(i) \times10^3$	−0.1498	−0.1017	−0.2005	0.0261	0.05719	−0.2303	−0.4131
$a_6(i) \times10^3$	0.01451	−0.0479	0.07549	−0.5744	−0.2638	−1.2726	−0.8951
$a_7(i) \times10^3$	1.769	2.4545	4.2109	2.4257	−1.96	−6.192	−2.448
$a_8(i)$	−2.2016	−0.6867	−0.5938	−0.04396	−0.01366	−0.1481	−0.2654
$a_9(i)$	−0.23	−0.05	−0.0632	−0.02979	0.03411	0.0774	−0.0088
$a_{10}(i)$	0.836	0.78	0.72	0.55	0.45	0.4	0.32

表I 切换随机非线性系统的参数：汽车电子节气门体。