23、利用差分进化方法对单向亥姆霍兹方程进行数值逼近

利用差分进化方法对单向亥姆霍兹方程进行数值逼近

1. 引言

尽管计算能力在不断提升，但许多数学物理方程的数值求解仍然是一项资源密集型操作。快速高效的数值方案通常采用复杂的近似方法，并且需要复杂的软件实现。更具挑战性的是，复杂数值方案的稳定性以及其适用范围的确定问题。

此研究旨在提高无边界大积分域中波传播计算机模拟方法的效率，这类问题在计算水声学、对流层无线电波传播、地球物理学、光学和量子力学等领域都有出现。虽然这些科学领域中的物理现象性质不同，但它们的数学模型在一定程度上具有普遍性。

现有的数值方法在解决这类问题时存在两个显著缺点：一是依赖多个计算参数，通常由专家手动选择，且缺乏可靠的验证机制，容易导致误差；二是通常不能最优地考虑传播环境的具体参数，导致计算资源的大量浪费和结果相关性的降低。

为了解决这些问题，本文提出使用随机方法来优化数值方案。近年来，使用随机方法构建数值方案是一个活跃的研究方向，如物理信息神经网络（PINN）方法。本文提出的方法保留了数值方案的结构，仅对其系数和参数进行升级。

2. 单向亥姆霍兹方程的有理近似

我们要解决二维标量亥姆霍兹方程：
[
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial z^{2}}+k^{2}n^{2}(x,z)\psi = 0
]
其中，(\psi(x,z)) 是波场，(k = \frac{2\pi}{\lambda}) 是波数，(\lambda) 是波长，(n(x,z)) 是折射率。假设传播介质在 (x) 方向的长度远大于 (z)