62、离散时间线性多变量系统的可观测性边界分析

离散时间线性多变量系统的可观测性边界分析

在控制理论中，对多变量系统的状态进行准确观测是一个重要的问题。本文将围绕为多变量系统设计Luenberger观测器，并评估保证观测误差收敛的$\epsilon$的上界展开。

1. Luenberger观测器的设计

对于多变量系统，Luenberger观测器的形式如下：
[
\begin{cases}
\hat{x}(k + 1) = A(\epsilon)\hat{x}(k) + B(\epsilon)u(k) + K(y(k) - \hat{y}(k)) \
\hat{y}(k + 1) = C(\epsilon)\hat{x}(k)
\end{cases}
]
其中，$\hat{x}$是观测器的状态，$K$是待确定的观测器增益。观测误差定义为$e(k) = x(k) - \hat{x}(k)$。

2. 观测误差收敛的充分条件

有如下定理给出了保证所提出的观测器估计误差收敛的充分条件：

定理2 ：对于标量$\epsilon_0 > 0$，如果存在对称矩阵$P = P^T > 0$满足以下线性矩阵不等式（LMIs）：
[
\begin{bmatrix}
-P & A(\epsilon_0)^T P - C(\epsilon_0)^T G^T \
PA(\epsilon_0) - GC(\epsilon_0) & -P
\end{bmatrix} < 0
]
[
\begin{b