matlab中gradient函数的参数h

help文件中关于gradient：
FX = gradient(F) 返回向量 F 的一维数值梯度。输出 FX 对应于 ∂F/∂x，即 x（水平）方向上的差分。点之间的间距假定为 1。
[___] = gradient(F,h) 使用 h 作为每个方向上的点之间的均匀间距。您可以指定上述语法中的任何输出参数。

[___] = gradient(F,hx,hy,…,hN) 为 F 的每个维度上的间距指定 N 个间距参数。
其中h的意义一开始并不明白，后来测试后才知道其实就是生成x与y的一维数组的时候的间距，有的时候是0.1 有的时候是1，取决于计算的需要

比如

x=[-1:0.1:1];
y=[-1:0.1:1]';
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=2*X.*Y;
h=contour(Z,12);
clabel(h);
hold on
[dx, dy]=gradient(Z,0.1,0.1);
quiver(dx, dy);
hold off

第五行的12是画12个等值线
第一行和第二行的0.1就是生成数组的间隔，
因此在第8行的调用gradient函数的时候，括号内后两个值就应该取0.1，这样得到的梯度值才是对的。
其实就是这样

x=[-1:a:1];
y=[-1:b:1]';
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=2*X.*Y;
h=contour(Z,12);
clabel(h);
hold on
[dx, dy]=gradient(Z,a,b);
quiver(dx, dy);
hold off

a和a是对应的，b和b是对应的

这主要是由matlab里面gradient函数的求解方法有关。接下来会解释。
假设一个矩阵Z为：

Z =

     6     9     3     4     0
     5     4     1     2     5
     6     7     7     8     0
     7     8     9    10     0

那么

 [Fx,Fy]=gradient(Z)

Fx =

    3.0000   -1.5000   -2.5000   -1.5000   -4.0000
   -1.0000   -2.0000   -1.0000    2.0000    3.0000
    1.0000    0.5000    0.5000   -3.5000   -8.0000
    1.0000    1.0000    1.0000   -4.5000  -10.0000


Fy =

   -1.0000   -5.0000   -2.0000   -2.0000    5.0000
         0   -1.0000    2.0000    2.0000         0
    1.0000    2.0000    4.0000    4.0000   -2.5000
    1.0000    1.0000    2.0000    2.0000         0

具体来说就是对x的梯度
Fx的第一列为Z的第二列减去第一列，
Fx的第二列为Z的（第三列减去第一列）/2，
Fx的第三列为Z的（第四列减去第二列）/2，
Fx的第四列为Z的（第五列减去第三列）/2，
Fx的最后一列为Z的最后一列减去倒数第二列。

这就是最简单的差分格式

同理
Fy的第一行为为Z的第二行减去第一行，
Fx的第二行为Z的（第三行减去第一行）/2，
Fx的第三行为Z的（第四行减去第二行）/2，
Fx的第四行为Z的（第五行减去第三行）/2，
Fx的最后一行为Z的最后一行减去倒数第二行。

当相应的x和y的队列相差为1的时候当然没问题
但是如果相差不为1时，算出的就不对了
例如
Z=2xy时

x=[-1:0.5:1];
y=[-1:0.5:1]';
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=2*X.*Y;
[dx, dy]=gradient(Z);

第五行中gradient中只写Z而不设定h参数就默认为1，我们可以得到

X =

   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000

Y =

   -1.0000   -1.0000   -1.0000   -1.0000   -1.0000
   -0.5000   -0.5000   -0.5000   -0.5000   -0.5000
         0         0         0         0         0
    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000
    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000

Z =

    2.0000    1.0000         0   -1.0000   -2.0000
    1.0000    0.5000         0   -0.5000   -1.0000
         0         0         0         0         0
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -2.0000   -1.0000         0    1.0000    2.0000

很容易知道 dx=2Y,dy=2X
所以dx应该等于Y这个矩阵乘2
但是，得到的结果为

dx =

   -1.0000   -1.0000   -1.0000   -1.0000   -1.0000
   -0.5000   -0.5000   -0.5000   -0.5000   -0.5000
         0         0         0         0         0
    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000    0.5000
    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
    
dy =

   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000
   -1.0000   -0.5000         0    0.5000    1.0000

所以说明这样求得的梯度正好小了50%
正是因为我们调用gradient的时候没有在后面加参数h

[dx, dy]=gradient(Z);//错误的命令

正确的命令应该是

[dx, dy]=gradient(Z,0.5,0.5);

这次得到的dx和dy就对了

dx =

    -2    -2    -2    -2    -2
    -1    -1    -1    -1    -1
     0     0     0     0     0
     1     1     1     1     1
     2     2     2     2     2

dy =

    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2
    -2    -1     0     1     2

所以，总而言之，调用gradient求梯度的时候，一定记得要加h参数，并且这个参数的值应该等于相应的x和y的间隔。