HOJ—Generalized Fibonacci

最新推荐文章于 2025-04-16 18:38:58 发布

爱狗的陈大

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分类专栏：近似估计文章标签： integer parameters each output input 联想

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/cyb6100300115/article/details/7300023

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本文深入探讨了Fibonacci序列的通用形式，并通过近似估计技术解决了一个具有挑战性的数学问题。文章详细介绍了如何通过特征根求解通项公式，以及在特定条件下将复杂表达式简化以避免数值溢出。通过实例分析，读者能够掌握一种通用的求解方法，适用于Fibonacci序列的扩展形式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Generalized Fibonacci

	Source : The 34th ACM/ICPC Asia Regional Harbin Preliminary
	Time limit : 1 sec		Memory limit : 64 M

Submitted : 39, Accepted : 17

Description

ACMers of HIT like to play with fibonacci sequences. Today, let's consider a generalized fibonacci sequence {a_n}. Given a₀, a₁ and a positive integer p and an integer q, with a_n+2 = p*a_n+1+q*a_n(n >= 0), we can get any element of {a_n}.

However, nowadays, algorithms are always required to be scalable, so we need to consider problems with n up to 10⁵. Fortunately, we do not need the exact values. Instead, you just need to tell how many digits there are.

For simplicity, you can safely assume that {a_n} will be non-negative with p²+4q >= 0.

Input

There will be no more than 100 test cases, each of which has five integers a₀, a₁, p, q, n.

0 <= a₀, a₁ <= 10000 are the first two elements of the sequence. 1 <= p <= 10000 and -10000 <= q <= 10000 are parameters of the recursive equation. 0 <= n <= 100000 denotes that a_n is what we want to calculate.

Process to the end of the file.

Output

One integer on a single line for each case, indicating the digits a_n contains.

Sample Input

0 1 1 1 6
0 1 1 1 7
8466 5819 4001 4757 99999

Sample Output

1
2
360227

一、观察此题不难发现此题是个近似估计的题目，此题同第一篇Fibonacci，不过与其比较更具一般性。通项公式很容易求出,可以预见：

1.当特征值两个相同时，

a(n)=(A*n+B)*x^n;

2.当特征值两个不同时，

a(n)=A*x^n+B*y^n;

二、研究两种形式

对于1就很简单，直接取log就行。而对于第二种需要一定的变化，这个变化与求极限很容易就联想到一块。

如：(2^n+3^n)/3^n,求极限我们利用的是一个小于1的数的指数函数是单调递减的，且趋向于0。这里我们

解决的是越界问题，所以也可以拿来用。

比如：log(2^n+3^n)，先求内部当然会越界。如果变为：log((2^n+3^n)/3^n*3^n)=log((2/3)^n+1)+n*log3

这样对于前一项：log((2/3)^n+1)是单调递减的，那么就能保证绝对不会越界的的。同样的思路，解决此题

就很简单了，先求通项公式，按上述思想变化一下，然后一切就OK了！