0. 术语&总结
总结
- 一个二元关系是一个集合，元素都是有序对，且可以为空集；
- ( x , y ) ∈ R (x, y)\in R (x,y)∈R 记作 x R y xRy xRy
- R − 1 R^{-1} R−1表示 R R R的逆
- 关系的复合：传递一下
- 关系的表示
- 集合表达式
- 关系矩阵（0-1矩阵）
- 关系表
- 关系的性质
| 性质 | 解释 | n元集符合性质的关系数(所有关系数为 2 n 2 2^{n^{2}} 2n2) |
|---|---|---|
| 自反(reflexive) | ∀ a ∈ A , a R a {\forall}a\in A, aRa ∀a∈A,aRa | 2 n ( n − 1 ) 2^{n(n-1)} 2n(n−1) |
| 反自反(irreflexive) | ∀ a ∈ A , ¬ a R a {\forall}a\in A, \neg aRa ∀a∈A,¬aRa | 2 n ( n − 1 ) 2^{n(n-1)} 2n(n−1) |
| 对称(symmetric) | a R b → b R a aRb\rightarrow bRa aRb→bRa | 2 n ( n + 1 ) 2 2^{\frac{n(n+1)}{2}} 22n(n+1) |
| 非对称(asymmetric) | a R b → ¬ b R a aRb\rightarrow \neg bRa aRb→¬bRa | 3 n ( n − 1 ) 2 3^{\frac{n(n-1)}{2}} 32n(n−1) |
| 反对称(antisymmetric) | ( a R b ) ∪ ( b R a ) → a = b (aRb)\cup (bRa) \rightarrow a=b (aRb)∪(bRa)→a=b | 2 n 3 n ( n − 1 ) 2 2^{n}3^{\frac{n(n-1)}{2}} 2n32n(n−1)(比楼上多了aRa) |
| 传递(transitive) | ( a R b ) ∪ ( b R c ) → a R c (aRb)\cup (bRc) \rightarrow aRc (aRb)∪(bRc)→aRc |
- 关系的闭包
- 自反闭包：给R补上所有自反
- 对称闭包：给R补上已有的对称
- 传递闭包：
R
∗
=
⋃
k
=
1
∞
R
k
,
R
∗
R^{*}=\bigcup_{k=1}^{\infty}R^{k},R^{*}
R∗=⋃k=1∞Rk,R∗称为连通性(connectivity)关系
- 算法1: 计算 ⋃ k = 1 n A [ k ] \bigcup_{k=1}^{n}A^{[k]} ⋃k=1nA[k]
- warshall’s algorithm:计算 W k = [ w i j k − 1 ∨ ( w i k k − 1 ∧ w k j k − 1 ) ] W_k=[w_{ij}^{k-1}\vee(w_{ik}^{k-1}\wedge w_{kj}^{k-1})] Wk=[wijk−1∨(wikk−1∧wkjk−1)]，就是找上一刻本身的位置以及同行的第k个和同列的第k个
- 等价关系：自反，对称，传递
- 等价类：通过等价关系R，所有与a等价的元素组成的集合，记为 [ a ] R [a]_{R} [a]R，a叫做代表元(representative)
- 划分(partition)：S的不相交的非空子集构成的集合
- 偏序关系：自反，反对称，传递
- 全序集：S的每对元素都可比
- 拓扑排序（ a 1 ≺ a 2 ≺ a 3 ⋯ a_1\prec a_2\prec a_3\cdots a1≺a2≺a3⋯）
- 良序集：全序集的S的所有非空子集都有一个最小元素
- Hasse图：只留单边
- 覆盖关系： x ≺ y → ¬ ∃ z ( x ≺ z ≺ y ) x\prec y\rightarrow \neg \exist z(x\prec z\prec y) x≺y→¬∃z(x≺z≺y)，通过一个覆盖关系，它的对称闭包的自反闭包就是它对应的偏序集
- 最大&最小元：只能有一个
- 极大&极小元：可以有多个
- 上界&最小上界/上确界LUB（A中大于等于B(A的子集)中所有元素的最小元素）
- 下界&最大下界/下确界GLB
- 格：每对元素都有上确界和下确界的偏序集（S, *）
- 全序集：S的每对元素都可比
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