几何向量：向量乘法（叉乘）

最新推荐文章于 2025-05-30 07:38:19 发布

飞飛飛

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分类专栏：入门图形学之几何向量

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本文深入探讨了物理中的力矩概念及其数学表达——向量叉积，通过实例解析了力矩的计算方法和几何意义，展示了如何利用Unity进行叉积计算，并讨论了叉积在图形学中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

转载自: https://blog.youkuaiyun.com/yinhun2012/article/details/79444277

之前我们学习了物理意义上的做功，也就是数学中向量点积的实际意义，这一篇我们学习物理上另外一种力的作用，也就是力矩。

物理上定义力矩是力对物体产生转动作用的物理量，这里我们想象一下现实中的力矩现象，比如陀螺，老式摇动柴油发动机，打隧道用的隧道机械都有力矩在其中。

这里我们看一下老式柴油发动机的摇把，如下图：

手对摇把产生OA的半径圆的切线方面力F摇动，那么会产生一种沿着Z轴的力矩L，物理上把求力矩L定义为力F 乘力臂OA，既：L = F*OA。

这里力矩L可以看作一个和Z轴重合的向量，力矩L的数量值等于力F作用的那一刻（那一瞬间，后面我们在微分中会讲解一瞬的意义）与力臂OA组成的平行四边形（特殊情况下比如F为切线就是矩形）的面积，上图中力M就是普通情况，求AM'和MG的乘积救得到力矩的向量的模长。

扯了这么多，其实就是阐述力矩的这种定义，数学上我们把计算力矩称为计算叉积，接下来我们继续观察叉积的几何意义。

我们同样建立空间xyz坐标系，如下图：

向量OA和AB的叉积OC，OC的属性包括两个

①OC垂直于OA，AB所在的平面（不共线三点确定一个平面）

②OC的向量模长等于OA，AB组成的平行四边形的面积

接下来就要思考怎么计算OC这个向量了，为了直观些，我们继续看下图：

够形象吧，OC这个“力矩”垂直于OB且垂直于OA①，而且模长等于|OA|*|OB|*sin∠BOA②，如下图：

由①我们推算出OC的Z代数坐标分量，那么此时问题就变换成求Z分量了，如下图：

这里我们用xyz基坐标两两的叉积等第三轴的基坐标，这种特殊形式推出OC中z值。

下面我们用程序验证一下，如图：


    
      
       
      
      
       
        using System.Collections;
       
      

      
       
      
      
       
        using System.Collections.Generic;
       
      

      
       
      
      
       
        using UnityEngine;
       
      

      
       
      
      
        
       
      

      
       
      
      
       
        public 
        class 
        CrossMathFunc : 
        MonoBehaviour {
       
      

      
       
      
      
        
       
      

      
       
      
      
           
        public Transform aHead;
       
      

      
       
      
      
           
        public Transform aTail;
       
      

      
       
      
      
           
        public Transform bHead;
       
      

      
       
      
      
           
        public Transform bTail;
       
      

      
       
      
      
        
       
      

      
       
      
      
           
        void Start()
       
      

      
       
      
      
       
            {
       
      

      
       
      
      
               
        //A (a1,a2,a3)
       
      

      
       
      
      
       
                Vector3 A = aTail.position - aHead.position; 
       
      

      
       
      
      
               
        //B (b1,b2,b3)
       
      

      
       
      
      
       
                Vector3 B = bTail.position - bHead.position;
       
      

      
       
      
      
               
        //用推导公式计算
       
      

      
       
      
      
       
                Vector3 crossAB = 
        new Vector3(A.y*B.z-A.z*B.y, A.z * B.x - A.x * B.z, A.x * B.y - A.y * B.x);
       
      

      
       
      
      
        
       
      

      
       
      
      
               
        //用api计算
       
      

      
       
      
      
       
                Vector3 apicrossAB = Vector3.Cross(A, B);
       
      

      
       
      
      
       
        #if UNITY_EDITOR
       
      

      
       
      
      
       
                Debug.LogFormat(
        "crossAB = {0} apicrossAB = {1}", crossAB, apicrossAB);
       
      

      
       
      
      
       
        #endif
       
      

      
       
      
      
       
            }
       
      

      
       
      
      
       
        }