[51NOD]1244 莫比乌斯函数之和_莫比乌斯函数 miu(a+b) miu (a*b)-优快云博客

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本文介绍了一种计算特定区间内莫比乌斯函数之和的方法，利用数学性质简化了计算过程，实现了O(n^2/3)的时间复杂度。通过预处理莫比乌斯函数和递推公式，有效地解决了大规模数据范围内的问题。

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莫比乌斯函数之和

基准时间限制：3 秒空间限制：131072 KB 分值: 320 难度：7级算法题
http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：
如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + …… miu(b)。
例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

题解

定义： $M(n)=\sum_{i=1}^{n}{\mu(i)}$

由于：

1 = \sum i = 1 n [i = 1] = \sum i = 1 n \sum d | i μ (d) = \sum i = 1 n \sum d = 1 ⌊ n i ⌋ μ (d) = \sum i = 1 n M (⌊ n i ⌋)

$1=\sum_{i=1}^{n}{[i=1]}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}{\mu(d)}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}{\mu(d)}=\sum_{i=1}^{n}{M(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)}$
可以得到：

M (n) = 1 - \sum i = 2 n M (⌊ n i ⌋)

$M(n)=1-\sum_{i=2}^{n}{M(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)}$
问题可在

O(n2/3) $O(n^{2/3})$ 时间复杂度下解决。

#pragma GCC optimize ("O2")
#include<stdio.h>
#include<unordered_map>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MAXN = 1e7 + 5;
int mu[MAXN], prm[MAXN], M[MAXN], sz;

void init() {
    M[1] = mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if(!prm[i]) {
            mu[i] = -1;
            prm[sz++] = i;
        }
        M[i] = M[i-1] + mu[i];
        for(int j = 0; j < sz; ++j) {
            int t = i * prm[j];
            if(t >= MAXN) break;
            prm[t] = 1;
            if(i % prm[j] == 0) {
                mu[t] = 0;
                break;
            } else {
                mu[t] = -mu[i];
            }
        }
    }
}

unordered_map<LL, int> mp;
inline int sm(LL n) {
    int res = 1;
    LL r = 2, l = 2;
    if(n < MAXN) {
        return M[n];
    }
    if(mp[n]) {
        return mp[n];
    }
    while(l <= n) {
        res -= sm((n / r)) * (r - l + 1);
    //  printf("[%d %d]\n", l, r);
        if(r == n) break;
        l = r + 1;
        r = n/(n/l);
    }
    return mp[n] = res;
}

int main()
{
    init();
    LL a, b;
    while(scanf("%lld%lld", &a, &b) != EOF) {
        int ans = sm(b) - sm(a - 1);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}