【51nod】1106 质数检测 埃拉托斯特尼筛法

1106 质数检测

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 0  难度：基础题

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给出N个正整数，检测每个数是否为质数。如果是，输出"Yes"，否则输出"No"。

Input

第1行：一个数N，表示正整数的数量。(1 <= N <= 1000)
第2 - N + 1行：每行1个数(2 <= S[i] <= 10^9)

Output

输出共N行，每行为 Yes 或 No。

Input示例

5
2
3
4
5
6

Output示例

Yes
Yes
No
Yes
No

一般方法 时间复杂度o() 203 ms

#include<stdio.h>
#include<math.h>
bool prime(int n)
{
	int m=sqrt(n);
	for(int i=2;i<=m;i++)
		if(!(n%i))
			return false;
	return true;
}
int main()
{
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%s\n",prime(n)?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

筛法 时间复杂度O(n log log n) 31 ms

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAXP 31625 //根号下1000000000 = 31622.
bool flag[MAXP];
int prime[3401]; //31625前有 3401个素数 
void form()
{
	for(int j=2,id=0;j<MAXP;j++)
	if(!flag[j])
	{
		prime[id++]=j;
		for(int k=j*j;k<MAXP;k+=j)
			flag[k]=1;
	}
}
bool pp(int n)
{
	for(int i=0;i<3401;i++)
		if(n%prime[i]==0)
			return false;
	return true;
}
int main()
{
	form();//打表
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		puts((n<MAXP&&!flag[n])||pp(n)?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

注意 由于题目输入n>=2代码，所以我也只写了n>=2的了

埃拉托斯特尼筛法（希腊语：κόσκινον Ἐρατοσθένους，英语：sieve of Eratosthenes ），简称埃氏筛，是一种简单且年代久远的算法，用来找出一定范围内所有的素数。

所使用的原理是从2开始，将每个 素数 的各个倍数，标记成 合数 。一个素数的各个倍数，是一个差为此素数本身的等差数列。此为这个筛法和 试除法 不同的关键之处，后者是以素数来测试每个待测数能否被整除。
埃拉托斯特尼筛法是列出所有小素数最有效的方法之一，其名字来自于 古希腊数学家 埃拉托斯特尼 ，并且被描述在 尼科马库斯 所著 Introduction to Arithmetic 中。 ^[1]

算式

给出要筛数值的范围n，找出{\displaystyle {\sqrt {n}}}以内的素数{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

步骤

详细列出算法如下：

1. 列出2以后的所有序列：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
2. 标出序列中的第一个质数，也就是2，序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3. 将剩下序列中，划摽2的倍数（用红色标出），序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方，那么剩下的序列中所有的数都是质数，否则回到第二步。

---

1. 本例中，因为25大于2的平方，我们返回第二步：
2. 剩下的序列中第一个质数是3，将主序列中3的倍数划出（红色），主序列变成：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

1. 我们得到的质数有：2，3
2. 25仍然大于3的平方，所以我们还要返回第二步：
3. 现在序列中第一个质数是5，同样将序列中5的倍数划出，主序列成了：
   • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4. 我们得到的质数有：2 3 5 。
5. 因为25等于5的平方，跳出循环.

结论：去掉红色的数字，2到25之间的质数是：2 3 5 7 11 13 17 19 23。

算法

埃拉托斯特尼筛法，可以用以下的伪代码来表示：

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding √n:
  if A[i] is true:
    for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.