【51nod】1106 质数检测 埃拉托斯特尼筛法

本文介绍了埃拉托斯特尼筛法,一种古老的算法,用于找出指定范围内的所有质数。通过逐步筛选出质数并排除其倍数,可以高效地找到质数序列。算法伪代码也一并给出。

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基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 0  难度:基础题
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给出N个正整数,检测每个数是否为质数。如果是,输出"Yes",否则输出"No"。
Input
第1行:一个数N,表示正整数的数量。(1 <= N <= 1000)
第2 - N + 1行:每行1个数(2 <= S[i] <= 10^9)
Output
输出共N行,每行为 Yes 或 No。
Input示例
5
2
3
4
5
6
Output示例
Yes
Yes
No
Yes
No

一般方法 时间复杂度o(\sqrt{n}203 ms


#include<stdio.h>
#include<math.h>
bool prime(int n)
{
	int m=sqrt(n);
	for(int i=2;i<=m;i++)
		if(!(n%i))
			return false;
	return true;
}
int main()
{
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		printf("%s\n",prime(n)?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

筛法 时间复杂度O(n log log n31 ms

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define MAXP 31625 //根号下1000000000 = 31622.
bool flag[MAXP];
int prime[3401]; //31625前有 3401个素数 
void form()
{
	for(int j=2,id=0;j<MAXP;j++)
	if(!flag[j])
	{
		prime[id++]=j;
		for(int k=j*j;k<MAXP;k+=j)
			flag[k]=1;
	}
}
bool pp(int n)
{
	for(int i=0;i<3401;i++)
		if(n%prime[i]==0)
			return false;
	return true;
}
int main()
{
	form();//打表
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		puts((n<MAXP&&!flag[n])||pp(n)?"Yes":"No");
	}
	return 0;
}

注意 由于题目输入n>=2代码,所以我也只写了n>=2的了


埃拉托斯特尼筛法希腊语κόσκινον Ἐρατοσθένους英语:sieve of Eratosthenes ),简称埃氏筛,是一种简单且年代久远的算法,用来找出一定范围内所有的素数

所使用的原理是从2开始,将每个 素数 的各个倍数,标记成 合数 。一个素数的各个倍数,是一个差为此素数本身的等差数列。此为这个筛法和 试除法 不同的关键之处,后者是以素数来测试每个待测数能否被整除。
埃拉托斯特尼筛法是列出所有小素数最有效的方法之一,其名字来自于 古希腊数学家 埃拉托斯特尼 ,并且被描述在 尼科马库斯 所著 Introduction to Arithmetic 中。 [1]

算式

给出要筛数值的范围n,找出{\displaystyle {\sqrt {n}}}\sqrt{n}以内的素数{\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}p_{​{1}},p_{​{2}},\dots ,p_{​{k}}。先用2去筛,即把2留下,把2的倍数剔除掉;再用下一个素数,也就是3筛,把3留下,把3的倍数剔除掉;接下去用下一个素数5筛,把5留下,把5的倍数剔除掉;不断重复下去......。

步骤

埃拉托斯特尼筛法

详细列出算法如下:

  1. 列出2以后的所有序列:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  2. 标出序列中的第一个质数,也就是2,序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  3. 将剩下序列中,划摽2的倍数(用红色标出),序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 如果现在这个序列中最大数小于最后一个标出的素数的平方,那么剩下的序列中所有的数都是质数,否则回到第二步。

  1. 本例中,因为25大于2的平方,我们返回第二步:
  2. 剩下的序列中第一个质数是3,将主序列中3的倍数划出(红色),主序列变成:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  1. 我们得到的质数有:2,3
  2. 25仍然大于3的平方,所以我们还要返回第二步:
  3. 现在序列中第一个质数是5,同样将序列中5的倍数划出,主序列成了:
    • 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
  4. 我们得到的质数有:2 3 5 。
  5. 因为25等于5的平方,跳出循环.

结论:去掉红色的数字,2到25之间的质数是:2 3 5 7 11 13 17 19 23。

算法

埃拉托斯特尼筛法,可以用以下的伪代码来表示:

Input: an integer n > 1
 
Let A be an array of Boolean values, indexed by integers 2 to n,
initially all set to true.
 
 for i = 2, 3, 4, ..., not exceeding n:
  if A[i] is true:
    for j = i2, i2+i, i2+2i, i2+3i, ..., not exceeding n :
      A[j] := false
 
Output: all i such that A[i] is true.
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