spfa初探

最新推荐文章于 2022-07-19 11:41:13 发布

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本文详细介绍了SPFA算法的原理，包括初始化、松弛操作等步骤，以及如何使用SPFA算法解决单源最短路问题。通过一个具体实例，展示了如何在C++中实现SPFA算法，并检查是否存在负环。

下面先来看一下spfa是什么

转载自http://www.cnblogs.com/scau20110726/archive/2012/11/18/2776124.html

粗略讲讲SPFA算法的原理，SPFA算法是1994年西安交通大学段凡丁提出

是一种求单源最短路的算法

算法中需要用到的主要变量

int n; //表示n个点，从1到n标号

int s,t; //s为源点，t为终点

int d[N]; //d[i]表示源点s到点i的最短路

int p[N]; //记录路径（或者说记录前驱）

queue <int> q; //一个队列，用STL实现，当然可有手打队列，无所谓

bool vis[N]; //vis[i]=1表示点i在队列中 vis[i]=0表示不在队列中

几乎所有的最短路算法其步骤都可以分为两步

1.初始化

2.松弛操作

初始化： d数组全部赋值为INF（无穷大）；p数组全部赋值为s（即源点），或者赋值为-1，表示还没有知道前驱

然后d[s]=0; 表示源点不用求最短路径，或者说最短路就是0。将源点入队；

　　　　（另外记住在整个算法中有顶点入队了要记得标记vis数组，有顶点出队了记得消除那个标记）

队列+松弛操作

读取队头顶点u，并将队头顶点u出队（记得消除标记）；将与点u相连的所有点v进行松弛操作，如果能更新估计值（即令d[v]变小），那么就更新，另外，如果点v没有在队列中，那么要将点v入队（记得标记），如果已经在队列中了，那么就不用入队

以此循环，直到队空为止就完成了单源最短路的求解

SPFA可以处理负权边

定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。

证明：

　　每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。（证毕）

期望的时间复杂度O(ke)，其中k为所有顶点进队的平均次数，可以证明k一般小于等于2。

判断有无负环：

　　如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）

拿杭电的通畅工程续来练了个手

#include<stdio.h>
#include<queue>
#include<string.h>
using namespace std;
int map[220][220];
int vis[220];
int dis[220];
int c[220]; //判断负环 
#define INF 99999999
void spfa(int s,int n)
{
	queue<int> q;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF;
	memset(c,0,sizeof(c));
	q.push(s);
	vis[s]=1;
	dis[s]=0;
	c[s]=1;
	while(!q.empty())
	{
		int x=q.front();
		q.pop();vis[x]=0;
		for(int i=0;i<n;i++)
		if(i!=x)
		{
			if(dis[i]>dis[x]+map[x][i])
			{
				dis[i]=dis[x]+map[x][i];
			
			if(vis[i]==0)
			{
				vis[i]=1;
				c[i]++;
				q.push(i);
				
			}
		    }
		}
	}
	return ;
}
int main()
{
	int n,m,i,j,k,a,b,x,s,e;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
	 for(i=0;i<n;i++)
	  for(j=0;j<n;j++)
	   if(i!=j)map[i][j]=INF;
	    else map[i][j]=0;
	 for(i=1;i<=m;i++)
	 {scanf("%d%d%d",&a,&b,&x);
	  if(x<map[a][b])
	  {map[a][b]=x;
	   map[b][a]=x;
	  }
	 }
	 scanf("%d%d",&s,&e);   
	 spfa(s,n);
	 if(dis[e]<INF)printf("%d\n",dis[e]);
	   else printf("-1\n"); 
	}
	return 0;
 }

（ctr的自我吐槽……不会用前向星，不会用链表……只会用邻接矩阵……省赛要完……）